Produit tensoriel égal à l'anneau de base

J'imagine que des modules sur l'anneau nul ne te conviendraient pas ? ;-)

Comment ne pas penser au ruban de Moebius (fibré de rang 1 non trivial sur le cercle, mais son carré est trivial) ?
Je te renvoie au très joli texte de Daniel Ferrand.
Tu peux prendre $A=\R[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$, noter $x$ et $y$ les classes de $X$ et $Y$ dans $A$, et suivant Daniel Ferrand prendre pour $M$ l'image du projecteur $\dfrac12\pmatrix{1+x&y\\y&1-x}$ ou (c'est isomorphe) l'idéal non principal $(1+x)A+yA$.
Le module $M$ n'est pas isomorphe à $A$, mais $M\otimes_A M$ l'est.

@Gaussien
Si $M \otimes_A N \simeq A$, alors $M, N$ sont deux modules projectifs de type fini de rang 1 et $M \simeq N^*$ (et $N \simeq M^*$). Proposition 3.13 page 570 chap. X in https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01675824/document

Réciproquement, si $M$ est un module projectif de type fini de rang 1, il en est de même de $M^*$ et $M \otimes_A M^*$ est canoniquement isomorphe à $A$ (via la trace, disons).

Dans le cadre des idéaux : si $I$ est un idéal inversible d'un anneau $A$ et $J$ un inverse de $I$ i.e. $IJ = Aa$ avec $a$ régulier, alors $J \simeq I^*$. Ceci permet de jouer avec les idéaux au lieu des modules. Vouloir $I \simeq I^*$, c'est vouloir que $I^2$ soit principal.