Inégalité(bis)

mathematoc · January 2018

Bonjour
Avez-vous une idée pour résoudre dans $\mathbb{C}$ : $\quad\bigg|\dfrac{z^2}{z^2+1}\bigg|\leq 2\ $ ?
Merci.

GaBuZoMeu · January 2018

Commence par poser $Z=z^2$.

gb · January 2018

Bonjour,

Écrire l'équation sous la forme :
\[\lvert z^2 \rvert \leqslant 2 \lvert\ z^2+1 \rvert\]
puis exprimer $z$ sous la forme $x+iy$ avec $x$ et $y$ réels ?

mathematoc · January 2018

D'accord, c'est bien ce qui me semblait. En fait, un exo me demande de prouver d'abord que $|\frac{z^2}{z^2+1}|=O(1)$ quand $|z| \to +\infty$.
Je pensais qu'il fallait que je m'en serve et je n'ai pas eu le courage de me lancer dans une résolution classique.
Mais pourquoi me demande-t-on cela ? Simplement pour remarquer que la solution est un domaine non borné ?

gb · January 2018

La question sur le $O(1)$, c'est le comportement asymptotique de la fonction : propriété locale pour $\lvert z \rvert$ au voisinage de $+\infty$.

La question porte maintenant sur une majoration précise et on veut un ensemble explicite pour les valeurs de $z$ qui la satisfont, pas un vague « c'est un voisinage de $+\infty$ pour $\lvert z \rvert$ ».