Norme_1
Bonjour,
J'ai travaillé sur un problème, dans $\mathbb{R}^2$, utilisant la norme 1 : $u=(u_1,u_2)\Rightarrow||u||_1=|u_1|+|u_2|$.
Je me suis demandé (il n'y avait aucune question là-dessus) si l'on pouvait dériver un produit scalaire associé, en utilisant l'identité de polarisation :
$$<u,v>_{???}=\frac{1}{2}(||u+v||_1^2-||u||_1^2-||v||_1^2)$$
Malheureusement, je trouve que le $<u,v>_{???}$ ainsi défini n'est pas linéaire :
$$u=(1,1)\,, v=(1,-1)\,, u+v=(2,0)\Rightarrow||u||_1=2\,,||v||_1=2\,,||u+v||_1=2$$
$$<u,v>_{???}=-2$$
$$2u=(2,2)\,, v=(1,-1)\,, 2u+v=(3,1)\Rightarrow||2u||_1=4\,,||v||_1=2\,,||2u+v||_1=4$$
$$<2u,v>_{???}=-2\neq2\times<u,v>_{???}$$
Est-ce que l'erreur ne vient pas simplement du fait que l'identité de polarisation se démontre à partir des propriétés du produit scalaire ? Qui doit d'abord être défini ? Ce qui fait que je peux toujours chercher... :-S
J'ai travaillé sur un problème, dans $\mathbb{R}^2$, utilisant la norme 1 : $u=(u_1,u_2)\Rightarrow||u||_1=|u_1|+|u_2|$.
Je me suis demandé (il n'y avait aucune question là-dessus) si l'on pouvait dériver un produit scalaire associé, en utilisant l'identité de polarisation :
$$<u,v>_{???}=\frac{1}{2}(||u+v||_1^2-||u||_1^2-||v||_1^2)$$
Malheureusement, je trouve que le $<u,v>_{???}$ ainsi défini n'est pas linéaire :
$$u=(1,1)\,, v=(1,-1)\,, u+v=(2,0)\Rightarrow||u||_1=2\,,||v||_1=2\,,||u+v||_1=2$$
$$<u,v>_{???}=-2$$
$$2u=(2,2)\,, v=(1,-1)\,, 2u+v=(3,1)\Rightarrow||2u||_1=4\,,||v||_1=2\,,||2u+v||_1=4$$
$$<2u,v>_{???}=-2\neq2\times<u,v>_{???}$$
Est-ce que l'erreur ne vient pas simplement du fait que l'identité de polarisation se démontre à partir des propriétés du produit scalaire ? Qui doit d'abord être défini ? Ce qui fait que je peux toujours chercher... :-S
Réponses
-
Je n'ai pas vérifié tes calculs.
Mais c'est certainement une preuve que cette norme n'est pas euclidienne (n'est pas issue d'un produit scalaire). -
Démo 1 : Ta norme 1 ne vérifie pas l'identité du parallélogramme (prendre (1,0) et (0,1)) donc elle ne dérive pas d'un PS.
Démo 2 : Une norme au carrée issue d'un PS dans R^2 s'écrit dans une certaine base ax^2+by^2 dont est C infini, et ta norme 1 n'est pas dérivable en 0. -
OK. Une norme est une application en soi, qui n'a pas besoin de dériver d'un produit scalaire ; donc, la recherche d'un ps était sans objet... Au temps pour moi.
Par contre, considérons l'ensemble des matrices de $M_2(\mathbb{R})$ qui conservent la norme $1$ : $$
E=\{A,\ A\in{M_2(\mathbb{R})},\ \forall{X}\in\mathbb{R^2},\ ||AX||_1=||X||_1\}.
$$ Que peut-on dire sur cet ensemble ? Est-ce qu'on ne peut pas introduire une notion d'orthogonalité, en utilisant le ps euclidien ?
Une question portait sur la détermination de cet ensemble $E$. En "bidouillant" des calculs, j'ai subodoré que les matrices $A$ ne pouvaient être que : $$
\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0 \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0 \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&0 \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0 \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1 \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1 \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&1 \end{array}\right)\,\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1 \end{array}\right).$$
Par contre, je n'ai pas trouvé de démonstration valable. Si quelqu'un a des pistes... -
Non, c'est une très bonne question que tu t'es posé ! Ce genre de considération est tout à fait légitime, encore plus quand on s'intéresse à des espaces plus compliqués de dimension infinie.
Pour ta nouvelle question, tu sembles avoir déterminé le groupe des isométries pour la norme $1$ de $\mathbb R^2$, bravo ! Je n'ai pas vérifié si la liste était complète, mais déjà on peut montrer facilement que les coefficients d'une telle matrice sont forcément en valeurs absolues $0$ ou $1$, en considérant des vecteurs bien choisis. -
Poirot a écrit:tu sembles avoir déterminé...
Le problème est que je n'ai rien déterminé du tout, parce que je n'ai rien démontré. Je me permets d'indiquer (ci-dessous) la question totale. Avec les notations:
$$O_1=\{A, A\in{M_2(\mathbb{R})},\forall{X}\in\mathbb{R^2}, ||AX||_1=||X||_1\}$$
Et : $\mathbb{B}$ = boule unité fermée pour la norme $||.||_1$ ; $A(\mathbb{T})$ = image par $A$ de $\mathbb{T}$.
Mon bidouillage a consisté à prendre une matrice $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$, pour laquelle on a déterminé (à la question précédente) que $|\det(A)|=1$, puis à l'appliquer à $X=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)$, pour en tirer la conclusion que $|a|+|c|=1$, $|b|+|d|=1$ ; puis, en posant que $|a|=\cos^2\alpha$, $|c|=\sin^2\alpha$, $|b|=\cos^2\beta$, $|d|=\sin^2\beta$, et sachant que $|ad-bc|=1$, ..., bref, ..., en déduire au pifomètre que les possibilités pour $A$ sont limitées à celles que j'ai donné précédemment !
Ce qui ne suit par conséquent pas du tout l'ordre des questions posées, auxquelles je ne sais comment répondre de façon précise (sauf le dessin de $\mathbb{B}$, qui est évident). Voilà, voilà ; une petite idée pour me lancer ?
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