Anneau double et dérivations

Bonsoir

J'appelle anneau double un anneau commutatif $A$ muni d'un crochet de Poisson $\{ , \}$ qui vérifie l'identité de Jacobi et qui est une dérivation du produit. On peut alors définir des dérivations de Poisson, ce sont les applications $a$ de $A$ qui vérifient :$$a(fg)= \{a(f),g\} - \{f, a(g) \}$$ et $$ a( \{ f,g \})= a(f)g - f a(g)$$ avec $f,g \in A$. On vérifie que ces dérivations admettent un crochet de Lie $[a,b]=ab-ba$ qui est une dérivation simple pour les deux produits. De plus, si $X$ est une dérivation des deux produits, son crochet de Lie $[X,a]=Xa-aX$ avec une dérivation de Poisson $a$ est une dérivation de Poisson.