modules

1) oui. Cela provient des définitions (fais-le !).

2) Noethérien comme module sur quel anneau ? Sur $\mathbb{Z}$ ? J'ai des doutes...

Edit: Grillé...

Je reprends les notations de ce message après rectification de la définition de $M_n$ :
\[M_n=\left\{\frac{a}{p^i}\ \ a\in\Z,\ i\le n\right\}=\left\{\frac{a}{p^n}\ \ a\in\Z\right\}\subset M=Q_p/\Z.\]
Pour $x\in Q_p$ non nul, on note $n(x)$ l'unique entier tel que $x=\frac{a}{p^{n(x)}}$ avec $a$ premier à $p$. Si $n(x)>0$, la classe de $x$ dans $M$ appartient à $M_{n(x)}$ ; si $n(x)\le0$ alors la classe de $x$ est nulle.

Soit $N$ un sous-module de $M$. L'argument présenté plus haut montre que si $N$ contient un élément non nul $x$, alors $N$ contient $M_{n(x)}$ (et donc tous les $M_k$ avec $k\le n(x)$). De deux choses l'une : soit l'ensemble des $n(x)$ ($x\in N$) admet un élément maximal $n_0$, et alors $N=M_{n_0}$ ; soit cet ensemble n'est pas borné, auquel cas $N=M$.

Ainsi, les seuls sous-modules de $M$ sont $M$ et les $M_n$ ($n\in\N$). Toute chaîne décroissante stationne donc parce que la chaîne la plus longue qui contient $M_n$ pour un $n$ donné est $M_n\supset M_{n-1}\supset\cdots\supset M_0=\{0\}$.