ker(f) est un idéal

Bonjour à tous.

j'ai une application f définie de A vers A' deux anneaux commutatif,je veux montrer que le kerf est un idéal de A.

pour ce fait je me prend a élément de A et x élément du kerf il suffit de montrer que a.x est élément du kerf, vue que le kerf est déjà un sg
f(a.x)= f(a).f(x) = f(a).0 = 0 donc a.x est élément du kerf d'où le kerf est un idéal de l'anneau A

mon problème est le suivant, dans l'exercice le prof n'a pas précisé que f décrivait un morphisme d'anneau, j'imagine qu'il veut qu'on suppose et si on suppose que f décrit un morphisme d'anneau pouvons nous pas passer par un autre chemin que je dirais moins rigoureux que le précédant??.

f un morphisme d'anneau nécessairement f est un morphisme de groupe donc f injective implique que le kerf={0} or {0} est un idéal par consequent le kerf est un idéal
Je ne suis pas tellement sure de la seconde preuve et si elle est exacte on a la notion d'injectivité qui apparaît et qui n'a pas été précisé aussi dans l'énoncé.

Je veux que vous donniez votre avis sur ces deux preuve

MERCI d'avance