Valeurs propres d'un endomorphisme -Bernstein

totzen · January 2018

Bonjour à tous !

Je cherche les valeurs propres de l'endomorphisme $\phi : \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}_n[X] ; P \mapsto B_nP $ où $B_nP$ est son polynôme de Bernstein.

C'est un automorphisme, je sais que 0 n'est pas valeur propre.

Des idées ?

Merci !

BobbyJoe · January 2018

Le plus simple est de calculer l'image par $\phi$ des polynômes pour $\ell$ appartenant à $\{0,\ldots,n\},$ $$ P_{\ell}(X)=\prod_{k=0}^{\ell-1}\Big(X-\frac{k}{n}\Big).
$$ Cette forme est adaptée aux calculs des sommes dans les polynômes de Bernstein.

totzen · January 2018

J'ai finalement remarqué que la matrice dans la base canonique $ (x_i)_i $ est triangulaire supérieure. Il me faut juste calculer les coefficients diagonaux.

Les cas $i=1 $ et $ i=2$ ne m'ont pas posé de problème.
Je me doute que le résultat est $ \quad\dbinom{n}{i} \dfrac{i!}{n^i}$.

Mais comment calculer $\quad\displaystyle \frac{1}{n^i} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}k^i \ ?$
Merci de votre aide !

BobbyJoe · January 2018

Justement, c'est monstrueux... Utilise plutôt la base que je t'ai suggérée...
Il décomposer les $X^{l}$ sur la base d'Hermite (essentiellement les polynômes que j'ai utilisés pour ton indication).
Sinon, essaie d'écrire $X^{2}=X(X-1)+X$ et tu comprendras l'idée pour généraliser (et le lien avec mon indication)

Valeurs propres d'un endomorphisme -Bernstein

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