Si $\sigma(n^s)=n^{\sigma(s)}$ alors ...

Sylvain
Sylvain
dans Algèbre
Bonjour,

Sauf erreur de ma part, une condition nécessaire pour qu'à $ n $ entier fixé et pour tout complexe $ s $ on ait ${\color{gray}{ \sigma(n^s)=n^s} }$ [Correction : ${\color{gray}{n^{\sigma(s)}=n^s}}$] REcorrection : ${\color{red}{\sigma(n^{s})=n^{\sigma(s)}}},$ avec $ \sigma $ automorphisme de corps est que $ \sigma $ soit continu. Comment démontrer ça proprement ?

Merci d'avance.

Réponses

  • marco
    marco
    Soit $n$ un entier strictement supérieur à $1$. Pour tout $z \in \C^*$, il existe $a,b \in \R$ tel que $z=e^{a+ib}$. Soit
    $c=\frac{a}{\ln n}$, $d=\frac{b}{\ln n}$, alors $n^{c+id}=(e^{\ln n})^{c+id}=e^{(\ln n)(c+id)}=e^{a+ib}=z$. Donc, si $\sigma(n^s)=n^s$ pour tout $s \in \C$, on a $\sigma(z)=\sigma(n^{c+id})=n^{c+id}=z$. Donc $\sigma$ est l'identité sur $\C^*$. De plus $\sigma(0)=0$, car $\sigma$ est un automorphisme de corps. Donc $\sigma=\mathrm{Id}_{\C}$.
  • Sylvain
    Sylvain
    Ah mon dieu marco, je suis confus, j'ai écrit $\sigma(n^s)=n^s $ au lieu de $ \sigma(n^s)=n^{\sigma(s)} $ ...merci quand même, je vais regarder ta démo et essayer de l'adapter.

    Edit : mes excuses à Alain dont la correction est erronée par ma faute.
  • Sylvain
    Sylvain
    En fait je pensais écrire que $\sigma(n^s)=\sigma(e^{s\ln n}) $ et développer en série entière pour en déduire que $\sigma(\lim_{N\to\infty}\sum_{k=0}^{N}\dfrac{(s\ln n)^k}{k ! })
    =\lim_{N\to\infty}\sigma(\sum_{k=0}^{N}\dfrac{(s\ln n)^k}{k ! }) $ pour tout complexe $ s $ non nul d'où $ \sigma $ continu donc étant l'identité ou la conjugaison.
  • Chaurien
    Chaurien
    Il faudrait peut-être donner l'énoncé exact : $\sigma(n^s)=n^s$ ou bien $n^{\sigma(s)}=n^s$ ?
  • Sylvain
    Sylvain
    $ \sigma(n^{s})=n^{\sigma(s)} $ .
  • Chaurien
    Chaurien
    Eh bien, on finit par y arriver, ce n'est pas malheureux ! Il faudrait peut-être un peu plus de soin dans le libellé des énoncés...
    Donc si j'ai bien compris, l'énoncé est le suivant.Soit $\sigma$ un automorphisme du corps des complexes tel que pour tout $n \in \mathbb N^*$ et tout $s \in \mathbb C$ on a : $\sigma(n^{s})=n^{\sigma(s)}$.
    Démontrer que $\sigma$ est l'identité ou la conjugaison.Si c'est ça, il faut changer le titre.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • Sylvain
    Sylvain
    Je suis le premier à souffrir d'avoir un esprit brouillon, crois-moi.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Sylvain
    Principe : ne dis jamais du mal de toi ; laisse les autres s'en charger ;-).
    Personne n'est à l'abri d'une faute d'inattention.
    Au fait cet énoncé, c'est toi qui te l'es posé, ou bien il vient de quelque part ?
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Sylvain
    Sylvain
    Il vient de mon projet d'article, donc on peut dire que c'est moi qui me le suis posé. Mais cette interrogation est somme tout naturelle : comme on a $ \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b) $ et $ \sigma(a.b)=\sigma(a).\sigma(b) $, on peut se demander à quelles conditions on a $ \sigma(a^b)=\sigma(a)^{\sigma(b)} $.
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