Si $\sigma(n^s)=n^{\sigma(s)}$ alors ...
Bonjour,
Sauf erreur de ma part, une condition nécessaire pour qu'à $ n $ entier fixé et pour tout complexe $ s $ on ait ${\color{gray}{ \sigma(n^s)=n^s} }$ [Correction : ${\color{gray}{n^{\sigma(s)}=n^s}}$] REcorrection : ${\color{red}{\sigma(n^{s})=n^{\sigma(s)}}},$ avec $ \sigma $ automorphisme de corps est que $ \sigma $ soit continu. Comment démontrer ça proprement ?
Merci d'avance.
Sauf erreur de ma part, une condition nécessaire pour qu'à $ n $ entier fixé et pour tout complexe $ s $ on ait ${\color{gray}{ \sigma(n^s)=n^s} }$ [Correction : ${\color{gray}{n^{\sigma(s)}=n^s}}$] REcorrection : ${\color{red}{\sigma(n^{s})=n^{\sigma(s)}}},$ avec $ \sigma $ automorphisme de corps est que $ \sigma $ soit continu. Comment démontrer ça proprement ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Soit $n$ un entier strictement supérieur à $1$. Pour tout $z \in \C^*$, il existe $a,b \in \R$ tel que $z=e^{a+ib}$. Soit
$c=\frac{a}{\ln n}$, $d=\frac{b}{\ln n}$, alors $n^{c+id}=(e^{\ln n})^{c+id}=e^{(\ln n)(c+id)}=e^{a+ib}=z$. Donc, si $\sigma(n^s)=n^s$ pour tout $s \in \C$, on a $\sigma(z)=\sigma(n^{c+id})=n^{c+id}=z$. Donc $\sigma$ est l'identité sur $\C^*$. De plus $\sigma(0)=0$, car $\sigma$ est un automorphisme de corps. Donc $\sigma=\mathrm{Id}_{\C}$. -
Ah mon dieu marco, je suis confus, j'ai écrit $\sigma(n^s)=n^s $ au lieu de $ \sigma(n^s)=n^{\sigma(s)} $ ...merci quand même, je vais regarder ta démo et essayer de l'adapter.
Edit : mes excuses à Alain dont la correction est erronée par ma faute. -
En fait je pensais écrire que $\sigma(n^s)=\sigma(e^{s\ln n}) $ et développer en série entière pour en déduire que $\sigma(\lim_{N\to\infty}\sum_{k=0}^{N}\dfrac{(s\ln n)^k}{k ! })
=\lim_{N\to\infty}\sigma(\sum_{k=0}^{N}\dfrac{(s\ln n)^k}{k ! }) $ pour tout complexe $ s $ non nul d'où $ \sigma $ continu donc étant l'identité ou la conjugaison. -
Il faudrait peut-être donner l'énoncé exact : $\sigma(n^s)=n^s$ ou bien $n^{\sigma(s)}=n^s$ ?
-
$ \sigma(n^{s})=n^{\sigma(s)} $ .
-
Eh bien, on finit par y arriver, ce n'est pas malheureux ! Il faudrait peut-être un peu plus de soin dans le libellé des énoncés...
Donc si j'ai bien compris, l'énoncé est le suivant.Soit $\sigma$ un automorphisme du corps des complexes tel que pour tout $n \in \mathbb N^*$ et tout $s \in \mathbb C$ on a : $\sigma(n^{s})=n^{\sigma(s)}$.
Démontrer que $\sigma$ est l'identité ou la conjugaison.Si c'est ça, il faut changer le titre.
Bonne nuit.
Fr. Ch. -
Je suis le premier à souffrir d'avoir un esprit brouillon, crois-moi.
-
@ Sylvain
Principe : ne dis jamais du mal de toi ; laisse les autres s'en charger ;-).
Personne n'est à l'abri d'une faute d'inattention.
Au fait cet énoncé, c'est toi qui te l'es posé, ou bien il vient de quelque part ?
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Il vient de mon projet d'article, donc on peut dire que c'est moi qui me le suis posé. Mais cette interrogation est somme tout naturelle : comme on a $ \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b) $ et $ \sigma(a.b)=\sigma(a).\sigma(b) $, on peut se demander à quelles conditions on a $ \sigma(a^b)=\sigma(a)^{\sigma(b)} $.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres