"Racines" d'un complexe
Bonsoir à tous
On m'a donné un petit problème publié dans la rubrique mathématique du journal "Le monde" il y a presque 20ans. N'ayant pas de solution satisfaisante, je m'adresse à vous tous. La formalisation du problème semble (est !) étonnante, mais on peut en donner un énoncé rigoureux, ce que je mets en bas. C'est parti.
Soit $A=\sqrt{-\frac 1 4+\sqrt{-\frac 1 4+\sqrt{-\frac 1 4 +\ldots}}}$
donc $A^2= - \frac 1 4 + A.$
On résout et on trouve 1 solution : $A = \frac 1 2$.
Ok.
Soit $B=\sqrt{-\frac 3{16}+\sqrt{-\frac 3{16}+\sqrt{-\frac 3{16} +\ldots}}}$
donc $B^2 = - \frac3{16} + B.$
On résout et on trouve 2 solutions : $B = \frac 1 4$ ou $B = \frac 3 4 $.
Quelle est la bonne réponse ?
Évidemment, les racines de complexes et réels négatifs, ça ne passe pas... Donc je traduirais par ceci :
Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0=0$ et $a_{n+1}$ défini par : $a_{n+1}^2=-\frac 1 4 + a_n$ et $0<\arg(a_{n+1})<\pi.$
Idem pour définir $(b_n)$, avec $b_0=0$ et $b_{n+1}$ défini par : $b_{n+1}^2=-\frac 3{16} + b_n$ et $0<\arg(b_{n+1})<\pi.$
quelle est la limite de $(b_n)$ ?
Merci pour vos éclaircissements !
david57
PS1. Si $z^2=r e^{i \theta}$, alors $z=\sqrt r\, e^{\frac 1 2 i \theta}$ ou $\sqrt r\, e^{(\frac 1 2 i \theta+\pi)}$.
J'ai supposé que l'auteur définissait implicitement la "racine d'un complexe et d'un réel négatif" comme la 1ere solution. A voir...
PS2. À la calculatrice (ti89), on trouve $B=\frac 3 4$ ...
[C'est quand même plus lisible avec $\LaTeX$. ;-) AD]
[Pour voir le code LaTeX, cliquer sur Citer (en bas à droite). AD]
On m'a donné un petit problème publié dans la rubrique mathématique du journal "Le monde" il y a presque 20ans. N'ayant pas de solution satisfaisante, je m'adresse à vous tous. La formalisation du problème semble (est !) étonnante, mais on peut en donner un énoncé rigoureux, ce que je mets en bas. C'est parti.
Soit $A=\sqrt{-\frac 1 4+\sqrt{-\frac 1 4+\sqrt{-\frac 1 4 +\ldots}}}$
donc $A^2= - \frac 1 4 + A.$
On résout et on trouve 1 solution : $A = \frac 1 2$.
Ok.
Soit $B=\sqrt{-\frac 3{16}+\sqrt{-\frac 3{16}+\sqrt{-\frac 3{16} +\ldots}}}$
donc $B^2 = - \frac3{16} + B.$
On résout et on trouve 2 solutions : $B = \frac 1 4$ ou $B = \frac 3 4 $.
Quelle est la bonne réponse ?
Évidemment, les racines de complexes et réels négatifs, ça ne passe pas... Donc je traduirais par ceci :
Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0=0$ et $a_{n+1}$ défini par : $a_{n+1}^2=-\frac 1 4 + a_n$ et $0<\arg(a_{n+1})<\pi.$
Idem pour définir $(b_n)$, avec $b_0=0$ et $b_{n+1}$ défini par : $b_{n+1}^2=-\frac 3{16} + b_n$ et $0<\arg(b_{n+1})<\pi.$
quelle est la limite de $(b_n)$ ?
Merci pour vos éclaircissements !
david57
PS1. Si $z^2=r e^{i \theta}$, alors $z=\sqrt r\, e^{\frac 1 2 i \theta}$ ou $\sqrt r\, e^{(\frac 1 2 i \theta+\pi)}$.
J'ai supposé que l'auteur définissait implicitement la "racine d'un complexe et d'un réel négatif" comme la 1ere solution. A voir...
PS2. À la calculatrice (ti89), on trouve $B=\frac 3 4$ ...
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Réponses
Voici l'origine probable de cette formule. Prenons un réel $b_0$. On va supposer $b_0\ge \frac3{16}$, comme ça on peut calculer $b_1=f(b_0)$ en restant dans $\R$, où $f:\left[\frac{3}{16},+\infty\right[\to\R$ est l'application définie par $f(x)=\sqrt{-\frac{3}{16}+x}$. Supposons que non seulement on puisse calculer $b_1$, mais encore $b_2=f(b_1)$ et même, pour tout $~n\in\N$, $b_{n+1}=f(b_n)$. Que devient la suite $(b_n)$ ?
En observant le graphe de $f$ (et la droite d'équation $y=x$), on devine les inégalités qui permettent de démontrer ce qui suit.
Pour les deux limites possibles, on peut écrire :
\begin{align*}
\frac14&=\sqrt{-\frac{3}{16}+\frac{1}{4}}=\sqrt{-\frac{3}{16}+\sqrt{-\frac{3}{16}+\frac{1}{4}}}
=\sqrt{-\frac{3}{16}+\sqrt{-\frac{3}{16}+\sqrt{-\frac{3}{16}+\frac{1}{4}}}}\\
\frac34&=\sqrt{-\frac{3}{16}+\frac{3}{4}}=\sqrt{-\frac{3}{16}+\sqrt{-\frac{3}{16}+\frac3{4}}}
=\sqrt{-\frac{3}{16}+\sqrt{-\frac{3}{16}+\sqrt{-\frac{3}{16}+\frac{3}{4}}}}.\end{align*}
De là à mettre des points de suspension pour titiller le lecteur...
Opération à trou « qui disent ».
ta réponse est tout simplement limpide : merci beaucoup !
David
[small](et merci à l'AD qui a retapé mon texte en latex !)[/small]
Je relis la réponse de Math Cross (d'il y a deux ans...) et je ne comprends pas un point :
1. si b0<1/4, disons par exemple b=0, pourquoi la suite bn qui devient complexe divergerait ???
Pourriez-vous m'éclairer ?
dans ta proposition concernant la limite B, exprimée l'an dernier
tu commets une erreur : il ne peut y avoir deux limites à ta série de radicaux imbriqués
ton équation du second degré $B^2 - B + \frac{3}{16} = 0$ est exacte
et les deux racines (points fixes potentiels) 1/4 et 3/4 sont justes
mais en élevant au carré ton expression initiale tu introduis une solution parasite
et donc il faut choisir entre 1/4 et 3/4
en fait la limite B est bien 3/4 qui est un point fixe attractif alors que 1/4 est un point fixe répulsif
tu considères la suite numérique introduite par Math Coss : $u_n = \sqrt{- \frac{3}{16} + u_{n-1}}$
si la limite B existe elle est forcément positive, d'autre part la fonction racine carrée est monotone croissante
donc par récurrence si $u_{n-1}$ est décroissante, alors $u_n$ sera décroissante
et si $u_{n-1}$ est croissante alors $u_n$ sera croissante
lorsque $u_0 = 1/4$ ou $u_0 = 3/4$ la suite est constante (c'est une confirmation empirique de l'existence de 2 points fixes)
si $u_0 = 0,2$ alors $u_1 = 0,1118...$ puis $u_2 = - 0,75....$, la suite décroît, prend des valeurs négatives
puis complexes (la suite diverge dans l'ensemble des complexes)
si $u_0 = 0,26$ alors $u_1 = 0,2692..$ et $u_2 = 0,2859..$ la suite est croissante et converge vers 3/4 à gauche
le schéma des points fixes proposé par Math Coss confirme ces résultats
si tu cherches à expliciter $u_n - 3/4$ tu ne trouveras pas de relation simple permettant de prouver la convergence
cordialement