Groupe abélien libre de type fini.

CechLM · January 2018

Salut à tous !

Pouvez vous m'aider à comprendre mon cours s'il vous plaît ? (Niveau L3 pas de module).

Théorème : Tout groupe abélien de type fini et sans torsion est libre.

Corollaire 1 : Pour groupe abélien de type fini $A$ est isomorphe à $tor(A)\times L$ avec $L$ un groupe abélien de type fini.

Corollaire 2 : Soit $A$ un groupe abélien, $L$ un groupe libre de type fini et $\pi \in Hom(A,L)$ surjectif
Alors il existe $s\in Hom(L,A)$ tel que $\pi \circ s = id_{L}$

Preuve rapide : $ 0 \rightarrow tor(A) \rightarrow_{j} A \rightarrow_{\pi} L \rightarrow 0 $
$(e_{i})$ est une base $L$.
On choisit $a_{i}$ tel que $\pi(a_{i}) = e_{i}$ (puisque $\pi$ est surjective).
Il existe $s \in Hom(L,A)$ tel que $\forall i, s(e_{i}) = a_{i}$
Ainsi $\pi \circ s = id_{L}$ on a le corollaire 2.
Maintenant cette identité implique que $s$ est injective.
Soit $L' < A$ le sous groupe engendré par les $a_{i}$.
On appelle encore $\pi$ $\pi$ sur $Hom(L',L)$ et on vérifie que ce sont des bijections réciproque.
Enfin on montre que $A = L' + tor(A)$

Remarque : L' n'est pas uniquement défini.

Question 1 : J'aimerai vous écrire la preuve du corollaire 1 pour que vous me la réécriviez en me définissant puis en utilisant le notion de relèvement. (Mon prof en a parlé pendant tout le cours sans jamais le définir ni l'écrire au tableau).

CechLM · January 2018

Je ne peux continuer sans la question 2 car il me faut $pi$ et visiblement je mal recopié le tableau.

Poirot · January 2018

Tu as un gros problème au milieu de ton message, il y a une partie qui contient le début de celui-ci... Tu peux faire un aperçu avant de publier ton message, ça t'évitera d'avoir à éditer $10$ fois.

CechLM · January 2018

Oui je vois comment enlever ce problème ?

Poirot · January 2018

Bah tu supprimes ce qui est en double...? Je peux m'en charger, tu me diras si j'ai enlevé quelque chose malencontreusement. Ensuite on pourra faire des maths.

CechLM · January 2018

Je vous autorise à vous en charger si vous le souhaitez.

Poirot · January 2018

C'est fait.

Je réponds à ta question 2 puisqu'il me semble que l'on ne peut pas encore t'aider pour la 1. L'application de $A$ dans $\mathbb C^*, \zeta^m3^n \mapsto 3^n$ est un morphisme de groupes, de noyau $tor(A)$. Le premier théorème d'isomorphisme te donne que $A/tor(A)$ est isomorphe à l'image de ce morphisme, qui est le sous-groupe monogène de $\mathbb C^*$ engendré par $3$, il est bien évidemment isomorphe à $\mathbb Z$.

CechLM · January 2018

A présent on prend $A = \{ z \in \mathbb{C} ; z = \zeta^{m} 3^{n}, (m,n) \in \mathbb{Z}^{2} \}$ avec $\zeta$ une racine 5ième de l'unité.
On a $tor(A) = \{\zeta^{n}\} = Z/5Z$
Puis $A/tor(A) = \mathbb{Z}$ par le morphisme $\zeta^{m} 3^{n} \mapsto 3^{n}$ de noyau $tor(A)$ puis l'isomorphisme $3^{n} \mapsto {n}$
Voilà à présent on a tout pour reprendre la démonstration sur un exemple et montrer que $L'$ n'est pas unique.

Tout d'abord considérons $\pi : A \mapsto Im(\pi) = \{3^{n}\} = L$ un morphisme surjectif.
Une base de $L$ est $\{3\}$.
Je peux choisir un élément $a\in A$ disons $\zeta3$ tel que $\pi(\zeta3) = 3$
Il existe $s\in Hom(L,A)$ tel que $s(3) = 3\zeta$ et il est clair $\pi \circ s = id_{L}$
Ici $L' =

\zeta> = Im(s)$.
Mais $L'$ pourrait tout aussi être $<3\zeta^{n}$, ... donc il n'y a pas unicité de $L'$.
Après ce qu'on peut dire c'est ça revient à multiplier un élément de torsion de $A$.

Au final $A = \mathbb Z \times

\zeta>$ par exemple.

Math Coss · January 2018

Q1 : Dans la preuve telle que tu l'as écrite, les $a_i$ sont des relèvements des $e_i$. Un relèvement, c'est un antécédent par une application surjective. (L'idée, c'est que le modèle d'application surjective, c'est la projection $\R^2\to\R$, $(x,y)\mapsto x$ : pour $x$ donné, les points $(x,y)$ (quand $y$ décrit $\R$) sont « au-dessus » de $x$, ils « relèvent » $x$.)

$\newcommand{\tor}{\mathop{\mathrm{tor}}}$Q2 : Suivons la preuve du théorème général. Le quotient de $A$ par $\tor(A)$ peut être réalisé par le module. Autrement dit, le module $\ln|\cdot|:A\to\R$ est un morphisme qui a pour noyau $\tor(A)$. L'image est $\{n\ln 3,\ n\in\Z\}$, un groupe libre de rang $1$ engendré par $e_1=\ln3$ (le logarithme n'est là que pour amuser la galerie, disons pour pouvoir prendre des notations additives). On doit choisir un relèvement de $e_1$ : $3$ et $3\zeta$ conviennent aussi bien l'un que l'autre. Ils donnent lieu aux morphismes $s_1:\Z e_1\to A$, $ne_1\mapsto 3^n$ et $s_2:\Z e_1\to A$, $ne_1\mapsto 3^n\zeta^n$.

Groupe abélien libre de type fini.

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