Notation : $\mathrm{lim}_\phi R$

Maxtimax · January 2018

Bonjour,
J'ai rapidement vu passer une notation qui m'est inconnue, et j'aimerais savoir ce qu'elle représente.
Le contexte est le suivant : $R$ est un anneau de caractéristique $p$, $\phi: R\to R$ est le morphisme de Frobenius.
Les notations sont $$\varinjlim_{\phi} R \qquad\text{ et }\qquad \varprojlim_{ \phi} R
$$ Je connais la définition de la limite disons inductive ou projective, mais ici je ne vois pas trop. J'imagine que ça a un rapport avec les noyaux/images/quotients et on forme un système inductif et on en prend la limite ? Je voudrais être sûr, d'où ma question.
Merci.

Poirot · January 2018

Ça me fait plutôt penser à la définition du Frobenius au-dessus d'une place dans l'extension $\overline{\mathbb F_p(T)}/\mathbb F_p(T)$, dont le groupe de Galois est limite projective des groupes de Galois des extensions $K/\mathbb F_p(T)$ galoisiennes finies.

GaBuZoMeu · January 2018

Limites inductive et projective du diagramme
$$ \ldots\stackrel{\phi}{\to} R\stackrel{\phi}{\to} R\stackrel{\phi}{\to} R\stackrel{\phi}{\to}\ldots$$
???

Maxtimax · January 2018

@GBZM: si simplement ?

GaBuZoMeu · January 2018

Je n'en sais rien, ton information sur le contexte est minimale ; il faudrait voir comment ce bidule est utilisé. Mais c'est la première chose à laquelle je pense.

Maxtimax · January 2018

C'est vrai que le contexte est petit, mais c'était au tout début du texte, et il n'y avait pas plus de contexte que ça. Le texte concerne les perfectoïdes si ça aide

Notation : $\mathrm{lim}_\phi R$

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