Sous-groupe de ZxZ

MichelMichel · January 2018

Bonjour tout le monde,

Je suis actuellement bloqué sur un exo en algebre, en effet dans cet exercice on nous demande de determiner un sous-groupe de Z×Z mais qui ne soit pas sous la forme H1×H2 avec H1, H2 sous-groupe de Z.

Or nous avons vu en cours que les seuls sous-groupes de Z sont sous la forme mZ avec m € Z.

Au début j'ai pensé à Z/2Z x Z/2Z mais je ne sais pas si l'ensemble des couples des classes residuelles modulo 2 peuvent etre considerés comme inclu dans Z x Z ? Quelqu'un pourrait-il éclairer ma lanterne svp ?

Magnolia · January 2018

Bonjour

En effet, en aucun cas une classe modulo 2 ne peut être vue comme un entier! Des sous-groupes de $\Z\times\Z$ il y en a des tas. Par exemple, la diagonale!

Poirot · January 2018

$\mathbb Z/2\mathbb Z$ est-il inclus dans $\mathbb Z$ ? Si tu sais répondre à cette question, tu sais répondre à ta dernière question !

Pour ce qui est de la question originale, il faut que tu te débrouilles pour avoir un sous-groupe qui n'est pas de la forme $m \mathbb Z \times n\mathbb Z$, par exemple en considérant le sous-groupe engendré par un élément bien choisi...

MichelMichel · January 2018

Merci beaucoup Magnolia et Poirot pour votre aide et pour le sous-groupe en question ! :-)

Okay d'ac, je vais essayer de bien faire la distinction entre classe résiduelle et entier à présent

Je vous souhaite une tres agréable journée.

gebrane · October 2022

Bonjour, Je reviens à cette question, peut-on caractériser les sous-groupes de Z x Z ?

Math Coss · October 2022

Oui, cf. le fil voisin qui aboutira un jour ou l'autre.

gebrane · October 2022

@Math Coss Pourquoi polluer l'autre fil. De mémoire ( sauf si ma mémoire est fichue) il y a seulement 3 types de s.g de ZxZ, mais je ne retrouve pas le raisonnement

Math Coss · October 2022

Le résultat général est le théorème de la base adaptée, qui vaut pour les anneaux principaux (en particulier euclidiens, en particulier $\Z$) : pour tout sous-groupe $H$ de $\Z^n$, il existe une base $(u_1,\dots,u_n)$ de $\Z^n$ et des entiers $a_1\mid a_2\mid \cdots\mid a_n$ tels que $H=\Z a_1u_1\oplus\cdots\oplus\Z a_nu_n$.

Soit $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique. Dire que $(u_1,\dots,u_n)$ est une base de $\Z^n$, c'est dire que la matrice $A=(a_{ij})$ définie par $u_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$, est inversible dans $\mathcal{M}_n(\Z)$, i.e. que $\det A=\pm1$.

Autrement dit, dans $\Z^2$, il y a si on veut trois types de sous-groupes à changement de base près :