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Groupe cyclique et générateur

Envoyé par Gil Bill 
Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Bonsoir,

J'aimerais savoir si ce que j'affirme ci-dessous est exact.
Voici :

L'algèbre nous apprend que :
1) si $n=4$ ou $n=p^k$ ou $n=2p^k$, pour $p=$ un nombre premier impair et $k=$ un entier naturel non nul, alors l'ensemble des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un groupe cyclique.

2) l'élément $\alpha$ de ce groupe cyclique en est un générateur si et seulement si $\alpha$ est d'ordre $\phi(n)$.

Merci d'avance.
df
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Bonjour,

Dans un groupe, l'ordre d'un élément est l'ordre du sous-groupe qu'il engendre.
Par définition, un générateur d'un groupe engendre tout le groupe. L'ordre du générateur est donc l'ordre du groupe. En l'occurence $\varphi (n)$ dans le cas de l'anneau des inversibles.

Par exemple, dans le groupe multiplicatif $U_n$ des racines n-ième de l'unité, un générateur est une racine primitive de l'unité.
Si $n$ est un nombre premier, tous les éléments sauf 1 sont des racines primitives.
Il suffira donc de prendre un élément quelconque de ce groupe (sauf 1) et de l'élever aux puissances $k=0, 1, 2, ..., n-1$ pour obtenir tous les éléments du groupe multiplicatif des racines n-ième de l'unité.

Pour le 1):

$n=4$ ou $n=p^k$ ou $n=2p^k$ sont les conditions (nécessaires et suffisantes) pour que le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ possède un générateur.
En notation multiplicative, si $x$ est un générateur de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$, la suite des puissances de $x$ est $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ tout entier. Et comme ce dernier est fini, il est également cyclique.
Donc, je crois que la première affirmation est vraie. A confirmer.
...



Edité 11 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par df.
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Merci, df, pour cette réponse rapide.
Attendons donc une confirmation.
AD
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
avatar
Bonsoir GillBill

Tu sais que si $n=p_1^{r_1}\ldots p_k^{r_k}$ est la décomposition de $n$ en facteurs premiers, alors par le lemme chinois
$\mathbb Z/n\mathbb Z\simeq \mathbb Z/p_1^{r_1}\mathbb Z\times\cdots\times \mathbb Z/p_k^{r_k}\mathbb Z$.
Comme chaque facteur direct est d'ordre premier avec les autres, le groupe des inversibles de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est le produit des groupes des inversibles de chaque facteur direct (cours) :
$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^*\simeq (\mathbb Z/p_1^{r_1}\mathbb Z)^*\times\cdots\times (\mathbb Z/p_k^{r_k}\mathbb Z)^*$.
Maintenant tu sais (ou tu redémontres) que pour $p$ premier impair, $(\mathbb Z/p^{r}\mathbb Z)^*$ est cyclique d'ordre $\varphi(p^r)=(p-1)p^{r-1}$ qui est pair.
Le produit direct de deux groupes cycliques d'ordre pair n'est pas cyclique, car il contient plusieurs sous-groupes d'ordre 2 distincts (au moins un dans chaque facteur direct). Pour que le groupe des inversible soit cyclique il faut donc que la décomposition en facteurs premiers de son ordre contienne au plus un facteur premier impair.
Cela oblige $n$ a être de la forme $n=2^sp^r$ et alors $\varphi(n)=\varphi(2^s)\varphi(p^r)$.
Mais $\varphi(2^s)=2^{s-1}$, pour qu'il ne soit pas pair il faut que $s\leq 1$ cela donne $n=p^r$ ou $n=2p^r$.
Maintenant si $n=2^s$ n'est pas divisible par un premier impair, il faut savoir (ou redémontrer) que
$(\mathbb Z/2\mathbb Z)^*=\{1\}$, que $\mathbb Z/4\mathbb Z\simeq\mathbb Z/2\mathbb Z$ et que pour $s\geq 3$, $~\mathbb Z/2^s\mathbb Z\simeq\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2^{s-2}\mathbb Z$. Or ce dernier groupe étant facteur direct de deux cycliques d'ordre pair n'est pas cyclique.
On retrouve donc les valeurs de $n$ proposées dans la question 1, auxquelles on pourrait ajouter les cas $n=1$ et $n=2$ où $\varphi(n)=1$ et le groupe des inversibles est alors trivial, donc cyclique.

Pour le 2), c'est la définition d'un générateur d'un groupe cyclique d'ordre $\varphi(n)$.
Alain

Edit. En relisant la question 1), je me rends compte que je t'ai démontré la réciproque de ce qui t'était demandé. grinning smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
df
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Bonsoir,

En complément de tout ce qui vient d'être dit...

Dans ce qui suit, le groupe des unités de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est désigné par $U(n)$.

On démontre que si $n$ est de la forme $2$, $4$, $p^r$, $2p^r$, $p$ premier impair et $r \geq 1$, alors $U(n)$ est cyclique.
La démonstration n'est pas toute simple et je ne rentrerai pas dans les détails (étant moi-même en train d'en prendre connaissance !).

On commence par démontrer que $U(2)$ et $U(4)$ sont cycliques.

Pour $r \geq 3$, $U(2^r)$ n'est pas cyclique. Si $r=3$, $U(2^3)=U(8)=\{1, 3, 5, 7\}$.
Tous les éléments de $U(8)$ sont d'ordres inférieurs ou égaux à $2$. Ils ne peuvent donc engendrer $U(8)$.
De la même manière, pour $r \geq 3$, tout élément de $U(2^r)$ est d'ordre $\leq 2^{r-2}$.
$U(2^r)$ n'est donc pas cyclique.

Une remarque au passage: $5^2 \equiv 1$,$\quad$ $5^3=125 \equiv 5$,$\quad$ $-5 \equiv 3$,$\quad$ $-(5)^2 \equiv 7 \pmod 8$.
Ainsi $U(8) \simeq \{-1,1\} \times \left< 5 \right>$ où $\left< 5 \right>$ est le sous-groupe de $U(8)$ engendré par $5$.
Autrement dit, $U(8)$ est isomorphe à l'ensemble des éléments de la forme: $((-1)^a, 5^x)$ où $a=0$ ou $a=1$ et $x$ est un entier $\leq 2^{r-2}$.

Reste à étudier les cas $p^r$ et $2p^r$.
Je mentionne très rapidement le cas $n=p^r$.

La démonstration de la "cyclicité" de $U(p^r)$ repose sur les trois résultats suivants:

•Lemme: soit $p$ un nombre premier impair et $a$ un entier premier avec $p$. Alors, pour tout $r \geq 0$:
\begin{equation}
\large (1+ap)^{p^r} \equiv 1+ap^{r+1} \pmod {p^{r+2}}
\end{equation}
Il se démontre par récurrence.

•Corollaire: modulo $p^r$ et sous les hypothèses du lemme, $1+ap$ est d'ordre $p^{r-1}$.

Enfin:

•Théorème: si $p$ est un nombre premier impair et $r$ un entier $\geq 1$, alors le groupe $U(p^r)$ est cyclique d'ordre $p^{r-1}(p-1)$, engendré par la classe $\bar{g}$ d'une racine primitive $g$ de $p$, telle que $g^{p-1} \not\equiv 1 \pmod {p^2}$.
Pour la démonstration, voir: "Algèbre et théorie des nombres"-S.Al Fakir-ellipses.
La démonstration consiste à trouver dans $U(p^r)$, un élément d'ordre $\phi(p^r)=p^{r-1}(p-1)$. Ce qui prouvera du même coup la cyclicité de $U(p^r)$.
...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par df.
df
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Bonjour,
une dernière chose: un exemple concret permet d'y voir plus clair.

Le cardinal d'un groupe cyclique est égale à l'ordre $m$ d'un de ses générateurs.
Dans $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*$ dont le cardinal est $\varphi(7)=6$, $3$ est un générateur mais pas $2$.
\begin{equation}
2^1 \equiv 2 \pmod 7 \\
2^2 \equiv 4 \pmod 7 \\
2^3 \equiv 1 \pmod 7
\end{equation} Mais : \begin{equation}
3^1 \equiv 3 \pmod 7 \\
3^2 \equiv 2 \pmod 7 \\
3^3 \equiv 6 \pmod 7 \\
3^4 \equiv 4 \pmod 7 \\
3^5 \equiv 5 \pmod 7 \\
3^6 \equiv 1 \pmod 7
\end{equation}
L'ordre de $2$ modulo $7$ est $3$ mais l'ordre de $3$ modulo $7$ est le cardinal de $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*$: $3$ est un générateur.
Au risque de me répéter: le cardinal du sous-groupe engendré par $3$ (et souvent noté $\left <3\right>$) est l'ordre de $3$... En l’occurrence le sous-groupe en question est le groupe $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*$ lui-même.
...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Bonjour df,
Je peux me permettre une petite remarque ?
df
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Bonjour @claudequitté: bien évidemment.

Et même plusieurs !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par df.
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
@df
C'est que je suis timide et par conséquent je demande la permission. On voit, dans ta magnifique table, que $3^2 \ne 1 \bmod 7$ et $3^3 \equiv -1 \ne 1 \bmod 7$. Est ce que l'on ne pourrait pas s'arrêter là ? (sauf si on aime calculer les puissances de $3$ modulo $7$, évidemment).
En effet $7 - 1 = 2 \times 3$ et donc l'ordre d'un élément de $(\Z/7\Z)^\times$, étant un diviseur de $6 = 7-1$, ne peut-être que $1, 2, 3$ ou $6$. Et ici, puisque l'ordre (multiplicatif) de 3 modulo 7 n'est ni 1 ni 2 ni 3, c'est donc que c'est 6.

Ce n'est vraiment qu'une petite remarque. Un alibi (en or) pour te saluer, toi et Gil Bill et en souvenir de discussions entamées en 2017.
df
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
@claudequitté

Exact. L'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe. Bon à savoir pour s'épargner des lignes de calculs.
Merci beaucoup et je te salue également.
df.
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Mille mercis, AD et df (et bonjour à Claude quitté), pour les précieuses informations théoriques que vous me fournissez !

Cela dit, afin de m’assurer que j’ai maintenant les idées bien claires, puis-je affirmer que ce que j’ai écrit au message initial est exact ? (En un mot : oui/non)

Encore merci à vous.
AD
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
avatar
Bonjour Gill Bill
[www.les-mathematiques.net]
Oui pour 1) et 2) et je t'ai montré la réciproque de 1).
Si un groupe $G$ cyclique (commutatif fini suffit dans la démonstration) admet un groupe d'automorphismes cyclique, alors $G$ est cyclique d'ordre $1,\,2,\,4,\,p^k,\,2p^k$, avec $p$ premier impair et $k\in\mathbb N^*$.

Alain
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
Encore une fois, merci, Alain.
C’est très gentil.
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
On en avait parlé ici :

[www.les-mathematiques.net]
AD
Re: Groupe cyclique et générateur
il y a huit mois
avatar
Bonsoir
On peut même généraliser.

Un groupe $G$ fini (commutatif ou non) qui admet un groupe d'automorphismes cyclique est cyclique de l'un des ordres cités précédemment.

En effet, si $G$ n'est pas commutatif, alors $G/Z(G)\simeq \mathrm{Int}(G)$ le groupe des automorphismes intérieurs, qui est un sous-groupe de $\mathrm{Aut}(G)$, donc est cyclique. Mais le quotient d'un groupe par son centre n'est cyclique que si le groupe est commutatif (exercice facile). Donc $G$ est commutatif et la démonstration précédente permet de conclure.

Alain
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