Groupe cyclique et générateur

Bonsoir,

En complément de tout ce qui vient d'être dit...

Dans ce qui suit, le groupe des unités de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est désigné par $U(n)$.

On démontre que si $n$ est de la forme $2$, $4$, $p^r$, $2p^r$, $p$ premier impair et $r \geq 1$, alors $U(n)$ est cyclique.
La démonstration n'est pas toute simple et je ne rentrerai pas dans les détails (étant moi-même en train d'en prendre connaissance !).

On commence par démontrer que $U(2)$ et $U(4)$ sont cycliques.

Pour $r \geq 3$, $U(2^r)$ n'est pas cyclique. Si $r=3$, $U(2^3)=U(8)=\{1, 3, 5, 7\}$.
Tous les éléments de $U(8)$ sont d'ordres inférieurs ou égaux à $2$. Ils ne peuvent donc engendrer $U(8)$.
De la même manière, pour $r \geq 3$, tout élément de $U(2^r)$ est d'ordre $\leq 2^{r-2}$.
$U(2^r)$ n'est donc pas cyclique.

Une remarque au passage: $5^2 \equiv 1$,$\quad$ $5^3=125 \equiv 5$,$\quad$ $-5 \equiv 3$,$\quad$ $-(5)^2 \equiv 7 \pmod 8$.
Ainsi $U(8) \simeq \{-1,1\} \times \left< 5 \right>$ où $\left< 5 \right>$ est le sous-groupe de $U(8)$ engendré par $5$.
Autrement dit, $U(8)$ est isomorphe à l'ensemble des éléments de la forme: $((-1)^a, 5^x)$ où $a=0$ ou $a=1$ et $x$ est un entier $\leq 2^{r-2}$.

Reste à étudier les cas $p^r$ et $2p^r$.
Je mentionne très rapidement le cas $n=p^r$.

La démonstration de la "cyclicité" de $U(p^r)$ repose sur les trois résultats suivants:

•Lemme: soit $p$ un nombre premier impair et $a$ un entier premier avec $p$. Alors, pour tout $r \geq 0$:
\begin{equation}
\large (1+ap)^{p^r} \equiv 1+ap^{r+1} \pmod {p^{r+2}}
\end{equation}
Il se démontre par récurrence.

•Corollaire: modulo $p^r$ et sous les hypothèses du lemme, $1+ap$ est d'ordre $p^{r-1}$.

Enfin:

•Théorème: si $p$ est un nombre premier impair et $r$ un entier $\geq 1$, alors le groupe $U(p^r)$ est cyclique d'ordre $p^{r-1}(p-1)$, engendré par la classe $\bar{g}$ d'une racine primitive $g$ de $p$, telle que $g^{p-1} \not\equiv 1 \pmod {p^2}$.
Pour la démonstration, voir: "Algèbre et théorie des nombres"-S.Al Fakir-ellipses.
La démonstration consiste à trouver dans $U(p^r)$, un élément d'ordre $\phi(p^r)=p^{r-1}(p-1)$. Ce qui prouvera du même coup la cyclicité de $U(p^r)$.
...

Bonjour df,
Je peux me permettre une petite remarque ?

@df
C'est que je suis timide et par conséquent je demande la permission. On voit, dans ta magnifique table, que $3^2 \ne 1 \bmod 7$ et $3^3 \equiv -1 \ne 1 \bmod 7$. Est ce que l'on ne pourrait pas s'arrêter là ? (sauf si on aime calculer les puissances de $3$ modulo $7$, évidemment).
En effet $7 - 1 = 2 \times 3$ et donc l'ordre d'un élément de $(\Z/7\Z)^\times$, étant un diviseur de $6 = 7-1$, ne peut-être que $1, 2, 3$ ou $6$. Et ici, puisque l'ordre (multiplicatif) de 3 modulo 7 n'est ni 1 ni 2 ni 3, c'est donc que c'est 6.

Ce n'est vraiment qu'une petite remarque. Un alibi (en or) pour te saluer, toi et Gil Bill et en souvenir de discussions entamées en 2017.

Bonsoir
On peut même généraliser.

Un groupe $G$ fini (commutatif ou non) qui admet un groupe d'automorphismes cyclique est cyclique de l'un des ordres cités précédemment.

En effet, si $G$ n'est pas commutatif, alors $G/Z(G)\simeq \mathrm{Int}(G)$ le groupe des automorphismes intérieurs, qui est un sous-groupe de $\mathrm{Aut}(G)$, donc est cyclique. Mais le quotient d'un groupe par son centre n'est cyclique que si le groupe est commutatif (exercice facile). Donc $G$ est commutatif et la démonstration précédente permet de conclure.

Alain