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Matrice à valeur propre unique

Envoyé par tibad582 
Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
Bonjour.
Voici un exercice :
Montrer que les matrices complexes à une seule valeur propre sont toutes de la forme N+ a In où N est une matrice nilpotente et a la valeur propre
Re: Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
avatar
L'exercice est immédiat. Qu'as-tu fait ?
MrJ
Re: Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
Tu pourrais utiliser le théorème de Cayley-Hamilton par exemple.
Re: Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
Bonjour.
Mr Killersmile38 ,j'ai procedé ainsi :
Soit A une matrice complex qui possede une seule valeur propre .
1 er cas: A est nilpotente
0 = a est la valeur propre de A
donc A = N
2 e cas : A n'est pas nilptente .
Par l'absurde
On suppose que
A!= N+a In
Or le polynome caracteristique de A est PA(x) = (x-a)^n
PA(x) ! =det (xIn - N - aIn) .
Je n'arrive pas à trouver d'absurdité.
Re: Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
Mr Mrj ,
SI on a une matrice matrice A le theoreme de Cayley Hamilton c'est PA(A) = 0 ;
Comment dois-je l'utliser pour obtenir le resultat cherché?
gb
Re: Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Tu connais « les » valeurs propres de \(A\), donc tu connais son polynôme caractéristique.
Re: Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
Une preuve par l'absurde me semble sans espoir. Mais surtout, quand tu écris :
Citation
Tibad582
On suppose que $A\ne N+a I_n$.
cela n'a pas de sens parce que personne ne sait qui sont $a$ ni $N$. Il manque vraiment une quantification sur $a$ et $N$. La négation de l'hypothèse, c'est : pour tout $a$ complexe et pour toute matrice nilpotente $N$, $A\ne aI_n+N$. Et on ne voit pas du tout comment exploiter cette hypothèse. Abandonnons la démarche.

Voici une version un peu plus explicite des indications de killersmile38 et GB. Soit $A$ une matrice qui possède une seule valeur propre. On la nomme $a$. Alors, le polynôme caractéristique de $A$ est... (pourquoi ? par exemple parce que $A$ est trigonalisable puisque $\C$ est algébriquement clos, et que les coefficients diagonaux d'une matrice triangulaire semblable à $A$ ne peuvent être...). Posons $N=A-aI_n$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, on a... et donc $N$...
Re: Matrice à valeur propre unique
il y a deux années
Je vous remercie
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