Matrice à valeur propre unique

Tu pourrais utiliser le théorème de Cayley-Hamilton par exemple.

Une preuve par l'absurde me semble sans espoir. Mais surtout, quand tu écris :

Tibad582 a écrit:

On suppose que $A\ne N+a I_n$.

cela n'a pas de sens parce que personne ne sait qui sont $a$ ni $N$. Il manque vraiment une quantification sur $a$ et $N$. La négation de l'hypothèse, c'est : pour tout $a$ complexe et pour toute matrice nilpotente $N$, $A\ne aI_n+N$. Et on ne voit pas du tout comment exploiter cette hypothèse. Abandonnons la démarche.

Voici une version un peu plus explicite des indications de killersmile38 et GB. Soit $A$ une matrice qui possède une seule valeur propre. On la nomme $a$. Alors, le polynôme caractéristique de $A$ est... (pourquoi ? par exemple parce que $A$ est trigonalisable puisque $\C$ est algébriquement clos, et que les coefficients diagonaux d'une matrice triangulaire semblable à $A$ ne peuvent être...). Posons $N=A-aI_n$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, on a... et donc $N$...