Géométrie affine : ma démonstration ?

Bonjour à tous et à toutes
Je suis étudiant en fin de deuxième année de master d'informatique et je m'intéresse aux mathématiques. C'est pour me former en autodidacte que j'ai acheté Géométries affine et euclidienne, Quadriques de Lucas VIENNE (HERMANN, 2005). J'en suis rendu à la page N°3 et j'ai déjà une question ! Pour vous situer un peu dans le contexte, l'auteur définit la notion d'espace affine et, là où j'en suis rendu : de celle de sous-espace affine. Ce qui suit concerne donc les sous-espaces affines. Ma démonstration part d'ailleurs du principe qu'un sous-espace affine est un espace affine (sinon elle ne vaudrait rien), alors que cette propriété est donnée juste après celle que je démontre. Donc en soi ma démonstration part du principe qu'un sous-espace affine est un espace affine alors que je ne suis pas encore censé le savoir... Mais sans partir de ce principe, je me retrouverais dès lors bien incapable de démontrer la propriété qui me tourmente un petit peu .
Je tiens à souligner que, comme à chaque fois que je lis un bouquin, je m'en tiens UNIQUEMENT à ce qui y est écrit : je ne fais jamais appel à d'éventuelles connaissances que j'aurais déjà acquises en ayant lu d'autres ouvrages ou autres. Je pars du principe que si l'auteur a été rigoureux, son livre se suffit à lui-même pour être entièrement entendu.

La PROPRIÉTÉ QUE JE CHERCHE A DÉMONTRER est la suivante : $\forall O \in \mu,\ \mu = \{O + v \mid v \in \mathbb{V}\}$.
Pour rappel, il est question d'un sous-espace affine... donc $\mu$ est le sous-ensemble de l'ensemble de points de l'espace affine de ce sous-espace affine et $\mathbb{V}$) est le sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel de l'espace affine de ce sous-espace affine.
Pour démontrer cette propriété, Lucas VIENNE commence par dire : Si $O$ et $O'$ sont deux points de $\mu$, alors il existe un vecteur $w$ dans $\mathbb{V}$ tel que $O' = O + w$. Intuitivement, je vois bien que c'est vrai ; mais j'aimerais m'en assurer : je cherche donc ici à démontrer ça.
Finalement, je me donne comme OBJECTIF de démontrer que : Si $O$ et $O'$ sont deux points de $\mu$, alors il existe un vecteur $w$ dans $\mathbb{V}$ tel que $O' = O + w$ , c'est-à-dire que je me donne cet OBJECTIF :

OBJECTIF : L'égalité suivante est-elle vraie : $\forall(O ; O') \in \epsilon^2,\ \exists v \in E ,\ O' = O + v$ ?

NB : comme je pars du principe qu'un sous-espace affine est un espace affine, je pars du principe que $\mathbb{V} = E$ et $\mu = \epsilon$.

On sait la définition d'un espace affine, qui est : $(\epsilon, E, \phi)$ avec $\epsilon$ son ensemble de points, $E$ son espace vectoriel et $\phi$ son application. On sait que : $\phi : \epsilon^2 \to E$ et $\phi(A ; = \overrightarrow{AB}$. Toujours par définition de l'application $\phi$, on sait que : $\forall (A ; \in \epsilon^2, \exists w \in E ,\ w = \overrightarrow{AB}$.

On sait que si deux égalités sont équivalentes, elles ont la même valeur de vérité. Donc, tentons de démontrer l'équivalence entre les égalités $(1)$ et $(2)$ suivantes : si elle est démontrée et que l'une d'elles est vraie, alors toutes deux sont vraies.
$\forall(O ; O') \in \epsilon^2$, on se donne ces deux égalités $(1)$ et $(2)$.
Egalité $(1)$ : $\exists v \in E ,\ O' = O + v$.
Egalité $(2)$ : $\exists v \in E ,\ v = \overrightarrow{OO'}$
L'égalité $(2)$ est VRAIE, par définition de $\phi$.

Démontrons donc l'équivalence suivante : $\forall(O ; O') \in \epsilon^2,\ \exists v \in E ,\ O' = O + v \Leftrightarrow \exists v \in E ,\ v = \overrightarrow{OO'}$.

Toujours par définition de $\phi$, on sait que : $\forall(A ; w) \in \epsilon \times E,\ \exists !B \in \epsilon ,\ B = A + w$. On écrit aussi ce point de la façon suivante : $w = \overrightarrow{AB}$. Cette dernière notation, et cette équivalence de notation, ne peuvent cependant pas être utilisées pour résoudre l'OBJECTIF : effectivement, l'OBJECTIF part de la condition $\forall(O ; O') \in \epsilon^2$ alors qu'ici, on part de la condition : $\forall(A ; w) \in \epsilon \times E$.

On déduit de $\forall(A ; w) \in \epsilon \times E, \ \exists !B \in \epsilon ,\ B = A + w$ cela : $\forall(O ; O') \in \epsilon^2,\ \exists v \in E ,\ v = \overrightarrow{OO'} \Leftrightarrow \exists! B \in \epsilon ,\ B = O +v$ (on a pris $(A = O ; w = v)$).
Ainsi : $\forall(O ; O') \in \epsilon^2,\ \exists v \in E ,\ v = \overrightarrow{OO'} \Leftrightarrow B = O' = O + v$, car $B$ est unique et $v = \overrightarrow{OO'}$ par définition de $\phi$.

Donc, on a bien : $\forall(O ; O') \in \epsilon^2,\ \exists v \in E,\ v = \overrightarrow{OO'} \Leftrightarrow O' = v + O$.
Finalement :

OBJECTIF : L'égalité suivante est-elle vraie : $\forall(O ; O') \in \epsilon^2,\ \exists v \in E ,\ O' = O + v$ ?

Oui.

Est-ce correct de A à Z ? Merci d'avance !