Petite question sur produit direct !

olmath · January 2018

Bonjour tous le monde,

Est-ce qu'on a : $ \mathbb{Z}$ x $\{0\} $ = $\mathbb{Z} $ ?

Merci :-)

Magnolia · January 2018

Bonjour

Non, ce n'est pas une égalité. On a $\Z\times \{0\}\subset \Q^2$, mais $\Z$ n'est pas inclus dans $\Q^2$.
Mais bien sur il y a isomorphisme pour à peu près toutes les structures.

Math Coss · January 2018

Un isomorphisme d'anneaux : $\Z\times\{0\}\to\Z$, $(n,0)\mapsto n$ et l'isomorphisme réciproque : $\Z\to\Z\times\{0\}$, $n\mapsto (n,0)$. (Où vais-je chercher tout ça ?!)

Et un isomorphisme de groupes qui n'est pas un isomorphisme d'anneaux : $\Z\times\{0\}\to\Z$, $(n,0)\mapsto -n$ et l'isomorphisme réciproque : $\Z\to\Z\times\{0\}$, $n\mapsto (-n,0)$.

Magnolia · January 2018

Après avoir vu la contribution de Math Coss. Quand j'ai dit qu'il y a isomorphisme entre $\Z\times\{0\}$ et $\Z$ pour "presque" toutes les structures j'ai mis un "presque" par principe de précaution! En fait je pensais qu'il existe toujours un isomorphisme... et j'avais tort!

Dans les ensembles totalement ordonnés avec comme morphismes les fonctions strictement croissantes, on définit sur $\Z\times \{0\}$ la relation d'ordre suivante: $(\forall m\in\Z) (m,0)\leq (0,0)$ et si $m$ et $n$ sont non nuls alors $(m,0)\leq (n,0)\Longleftrightarrow m\leq n$. Sauf erreur (toujours le principe de précaution) $\Z\times \{0\}$ est un ensemble totalement ordonné, ayant un plus grand élément. Il n'est donc pas isomorphe à $\Z$ qui n'en a pas.

Petite question sur produit direct !

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