Petite question sur produit direct !
Réponses
-
Bonjour
Non, ce n'est pas une égalité. On a $\Z\times \{0\}\subset \Q^2$, mais $\Z$ n'est pas inclus dans $\Q^2$.
Mais bien sur il y a isomorphisme pour à peu près toutes les structures. -
Un isomorphisme d'anneaux : $\Z\times\{0\}\to\Z$, $(n,0)\mapsto n$ et l'isomorphisme réciproque : $\Z\to\Z\times\{0\}$, $n\mapsto (n,0)$. (Où vais-je chercher tout ça ?!)
Et un isomorphisme de groupes qui n'est pas un isomorphisme d'anneaux : $\Z\times\{0\}\to\Z$, $(n,0)\mapsto -n$ et l'isomorphisme réciproque : $\Z\to\Z\times\{0\}$, $n\mapsto (-n,0)$. -
Après avoir vu la contribution de Math Coss. Quand j'ai dit qu'il y a isomorphisme entre $\Z\times\{0\}$ et $\Z$ pour "presque" toutes les structures j'ai mis un "presque" par principe de précaution! En fait je pensais qu'il existe toujours un isomorphisme... et j'avais tort!
Dans les ensembles totalement ordonnés avec comme morphismes les fonctions strictement croissantes, on définit sur $\Z\times \{0\}$ la relation d'ordre suivante: $(\forall m\in\Z) (m,0)\leq (0,0)$ et si $m$ et $n$ sont non nuls alors $(m,0)\leq (n,0)\Longleftrightarrow m\leq n$. Sauf erreur (toujours le principe de précaution) $\Z\times \{0\}$ est un ensemble totalement ordonné, ayant un plus grand élément. Il n'est donc pas isomorphe à $\Z$ qui n'en a pas.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres