Existe-t-il sol. algébrique de exp(x)=cos(x)

Hassan94 · January 2018

Bonjour,
J'aimerais savoir s'il y a une solution algébrique de l'équation exp(x)=cos(x) ?
Je pense que non, mais comment le prouver ?
Si oui, quelle serait la démonstration ?
Votre aide serait la bienvenue.
Merci.

aRc · January 2018

Bonjour,
Déjà $x=0$ ça marche !

gerard0 · January 2018

Bonjour Hassan94.

A priori, pas de "démonstration algébrique", faute de propriétés communes utiles. D'ailleurs, cette équation a une infinité de solutions.

Cordialement.

Hassan94 · January 2018

Désolé de ne pas avoir été précis : ce qui m'intéresse est l'ensemble des solutions (exprimé nécessairement sous forme algébrique, car il y a une infinité de solutions)

Graphiquement on voit que la majorité des solutions est "proche" de x= -k.pi/2 où k est entier naturel (et surtout pour les k "grand").
Mais bien évidemment c'est une "approximation"-dont on ne connait pas l'erreur commise, de fait-... pas une expression algébrique.

Hassan94 · January 2018

Merci, Gérard.
Effectivement ton argument confirme mes pensées.

gerard0 · January 2018

Les solutions sont des nombres négatifs, de valeur absolue éventuellement très grande. Or dans ce cas, l'exponentielle est tellement proche de 0 que remplacer l'équation par cos(x)=0 donne un résultats satisfaisant si on veut seulement une valeur approchée.

Rien n'interdit de donner des noms aux solutions prises par ordre décroissant : $x_0=0, x_1\approx -1,293, x_2\approx -4,72, ...$ et de dire où se trouvent ces nombres.

Cordialement.

NB : On ne sait pas non plus écrire "algébriquement" les solutions de tan(x)=x.

Hassan94 · January 2018

Gérard, ton raisonnement me convient parfaitement. Merci encore.

Poirot · January 2018

Cela ne constitue cependant pas une preuve du fait que les solutions de cette équation ne sont pas algébriques (en l'occurrence $0$ est algébrique).

gerard0 · January 2018

Bonjour Poirot.

Tu sembles confondre "exprimé nécessairement sous forme algébrique" et "algébrique". mais je concède que 0 s'exprime bien en valeur exacte "sous forme algébrique".

Pour les autres valeurs, si tu as une idée ...

Cordialement.

Existe-t-il sol. algébrique de exp(x)=cos(x)

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