Bonjour,
J'aimerais savoir s'il y a une solution algébrique de l'équation exp(x)=cos(x) ?
Je pense que non, mais comment le prouver ?
Si oui, quelle serait la démonstration ?
Votre aide serait la bienvenue.
Merci.
Désolé de ne pas avoir été précis : ce qui m'intéresse est l'ensemble des solutions (exprimé nécessairement sous forme algébrique, car il y a une infinité de solutions)
Graphiquement on voit que la majorité des solutions est "proche" de x= -k.pi/2 où k est entier naturel (et surtout pour les k "grand").
Mais bien évidemment c'est une "approximation"-dont on ne connait pas l'erreur commise, de fait-... pas une expression algébrique.
Les solutions sont des nombres négatifs, de valeur absolue éventuellement très grande. Or dans ce cas, l'exponentielle est tellement proche de 0 que remplacer l'équation par cos(x)=0 donne un résultats satisfaisant si on veut seulement une valeur approchée.
Rien n'interdit de donner des noms aux solutions prises par ordre décroissant : $x_0=0, x_1\approx -1,293, x_2\approx -4,72, ...$ et de dire où se trouvent ces nombres.
Cordialement.
NB : On ne sait pas non plus écrire "algébriquement" les solutions de tan(x)=x.
Réponses
Déjà $x=0$ ça marche !
A priori, pas de "démonstration algébrique", faute de propriétés communes utiles. D'ailleurs, cette équation a une infinité de solutions.
Cordialement.
Graphiquement on voit que la majorité des solutions est "proche" de x= -k.pi/2 où k est entier naturel (et surtout pour les k "grand").
Mais bien évidemment c'est une "approximation"-dont on ne connait pas l'erreur commise, de fait-... pas une expression algébrique.
Effectivement ton argument confirme mes pensées.
Rien n'interdit de donner des noms aux solutions prises par ordre décroissant : $x_0=0, x_1\approx -1,293, x_2\approx -4,72, ...$ et de dire où se trouvent ces nombres.
Cordialement.
NB : On ne sait pas non plus écrire "algébriquement" les solutions de tan(x)=x.
Tu sembles confondre "exprimé nécessairement sous forme algébrique" et "algébrique". mais je concède que 0 s'exprime bien en valeur exacte "sous forme algébrique".
Pour les autres valeurs, si tu as une idée ...
Cordialement.