Eq. du 4e degré, méthode de Ferrari

Problème.
Soit $P=x^4-ax^3+2x^2-bx+1$.
Montrer que si $P$ a des racines réelles, alors $a^2+b^2\geq 8$

La méthode de résolution de Ferrari consiste à faire de $(x^2+px+q)^2 - P$
le carré d'un polynôme $Q$ de degré 1 . En cas de succès $(x^2+px+q)^2 - P=Q^2$ donne
$P= (x^2+px+q)^2-Q^2=((x^2+px+q)+Q)((x^2+px+q)-Q)$,
un produit de deux polynômes de degré 2.

Avec le $P$ du problème, on obtient
$(x^2+px+q)^2 - P = (a+2p)x^3 + (p^2+2q-2)x^2 + (b+2pq)x + (q^2-1)$
Le résultat est de degré 2 si $p=-a/2$ et
$(x^2-(a/2)x+q)^2 - P = (a^2/4+2q)x^2 + (b-aq)x + (q^2-1)$
Si le discriminant de ce dernier polynôme est nul, on pourra l'écrire
sous forme de carré, complexe si nécessaire.
$\Delta = -8q^3+8q^2+(8-2ab)q+(a^2+b^2-8)$

Vu le problème, le terme constant de ce polynôme discriminant en $q$ me fascine.
La suite est pour vous.