Un regard circulaire

soland · February 2018

Trouver un polynôme de degré 8 dont l'ensemble des racines,
toutes distinctes, est invariant par l'application $z\mapsto z^2-2$.
Quelles sont ces racines?

Chaurien · February 2018

Je dirais $z_k=2 \cos \frac{2^{k+1}\pi}{2^8-1}$, $k=0,1,...,7$.
Bonne journée.
Fr. Ch.

MrJ · February 2018

Je ne sais pas si cela correspond aux racines données par Chaurien, mais je pense que le qu'un polynôme qui convient est
$$P(X)=X^8-8X^6+20X^4-16X^2-X+2.$$

GaBuZoMeu · February 2018

On peut remarquer que $(2\cos(\theta))^2-2=2\cos(2\theta)$.
On peut aussi remarquer que le polynôme factorise en
$$(x - 2) (x + 1) (x^3 - 3x + 1)(x^3 + x^2 - 2x - 1)$$
Deux points fixes, deux 3-cycles pour $z\mapsto z^2-2$.

Chaurien · February 2018

Oui, c'est la remarque : $(2\cos\theta)^2-2=2\cos2\theta$ qui m'a conduit à proposer la suite $z_k=2 \cos \frac{2^{k+1}\pi}{2^8-1}$. Cette suite vérifie : $z_{k+1}=z_k^2-2$. Cette suite est de période $8$, et ses valeurs $z_0, z_1,...,z_7$ sont distinctes (sauf erreur). Le polynôme qui admet ces $8$ réels pour racines convient donc. Mais il n'est pas simple de trouver ses coefficients à la main. Avec les moyens modernes, ce doit être faisable...
Aucun terme de cette suite n'est égal à $-1$ ni à $2$. Il y a donc plusieurs polynômes-solutions, selon la décomposition en cycles de la permutation $z \mapsto z^2-2$ des $8$ racines.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Chaurien · February 2018

Les racines du polynôme $X^3+X^2-2X-1$ sont : $2 \cos \frac {2 \pi}7, 2 \cos \frac {4 \pi}7, 2 \cos \frac {8 \pi}7$.
Et les racines du polynôme $X^3-3X+1$ sont : $2 \cos \frac {2 \pi}9, 2 \cos \frac {4 \pi}9, 2 \cos \frac {8 \pi}9$.
On retrouve les $3$-cycles indiqués par GBZM.
Je serais curieux de savoir comment MrJ a inventé son polynôme.
Bonne journée.
Fr. Ch.

GaBuZoMeu · February 2018

Tout simplement en itérant $z\mapsto z^2-2$.

Un petit coup de Sage pour chasser les points périodique de cette application.

R.<x>=PolynomialRing(QQ,1)
P=x^2-2
def itP(i) :
    if i==0 : return x
    else : return itP(i-1).subs(x=P)
for i in range(1,9) :
    print (itP(i)-x).factor()

et on obtient

(x - 2) * (x + 1)
(x - 2) * (x + 1) * (x^2 + x - 1)
(x - 2) * (x + 1) * (x^3 - 3*x + 1) * (x^3 + x^2 - 2*x - 1)
(x - 2) * (x + 1) * (x^2 + x - 1) * (x^4 - x^3 - 4*x^2 + 4*x + 1) * (x^8 + x^7 - 7*x^6 - 6*x^5 + 15*x^4 + 10*x^3 - 10*x^2 - 4*x + 1)
(x - 2) * (x + 1) * (x^5 + x^4 - 4*x^3 - 3*x^2 + 3*x + 1) * (x^10 - x^9 - 10*x^8 + 10*x^7 + 34*x^6 - 34*x^5 - 43*x^4 + 43*x^3 + 12*x^2 - 12*x + 1) * (x^15 + x^14 - 14*x^13 - 13*x^12 + 78*x^11 + 66*x^10 - 220*x^9 - 165*x^8 + 330*x^7 + 210*x^6 - 252*x^5 - 126*x^4 + 84*x^3 + 28*x^2 - 8*x - 1)
(x - 2) * (x + 1) * (x^2 + x - 1) * (x^3 - 3*x + 1) * (x^3 + x^2 - 2*x - 1) * (x^6 - x^5 - 6*x^4 + 6*x^3 + 8*x^2 - 8*x + 1) * (x^6 + x^5 - 5*x^4 - 4*x^3 + 6*x^2 + 3*x - 1) * (x^18 - 18*x^16 - x^15 + 135*x^14 + 15*x^13 - 546*x^12 - 90*x^11 + 1287*x^10 + 276*x^9 - 1782*x^8 - 459*x^7 + 1385*x^6 + 405*x^5 - 534*x^4 - 170*x^3 + 72*x^2 + 24*x + 1) * (x^24 - x^23 - 24*x^22 + 23*x^21 + 252*x^20 - 229*x^19 - 1521*x^18 + 1292*x^17 + 5832*x^16 - 4540*x^15 - 14822*x^14 + 10282*x^13 + 25284*x^12 - 15001*x^11 - 28667*x^10 + 13653*x^9 + 20886*x^8 - 7168*x^7 - 9126*x^6 + 1802*x^5 + 2085*x^4 - 101*x^3 - 180*x^2 - 12*x + 1)
(x - 2) * (x + 1) * (x^21 + x^20 - 20*x^19 - 19*x^18 + 171*x^17 + 153*x^16 - 816*x^15 - 680*x^14 + 2380*x^13 + 1820*x^12 - 4368*x^11 - 3003*x^10 + 5005*x^9 + 3003*x^8 - 3432*x^7 - 1716*x^6 + 1287*x^5 + 495*x^4 - 220*x^3 - 55*x^2 + 11*x + 1) * (x^42 - x^41 - 42*x^40 + 42*x^39 + 818*x^38 - 818*x^37 - 9803*x^36 + 9803*x^35 + 80884*x^34 - 80884*x^33 - 487103*x^32 + 487103*x^31 + 2214673*x^30 - 2214673*x^29 - 7756167*x^28 + 7756167*x^27 + 21159269*x^26 - 21159269*x^25 - 45176143*x^24 + 45176143*x^23 + 75433697*x^22 - 75433697*x^21 - 97942948*x^20 + 97942948*x^19 + 97804877*x^18 - 97804877*x^17 - 73850908*x^16 + 73850908*x^15 + 41150012*x^14 - 41150012*x^13 - 16350448*x^12 + 16350448*x^11 + 4413607*x^10 - 4413607*x^9 - 753918*x^8 + 753918*x^7 + 72886*x^6 - 72886*x^5 - 3267*x^4 + 3267*x^3 + 44*x^2 - 44*x + 1) * (x^63 + x^62 - 62*x^61 - 61*x^60 + 1830*x^59 + 1770*x^58 - 34220*x^57 - 32509*x^56 + 455126*x^55 + 424270*x^54 - 4582116*x^53 - 4187106*x^52 + 36288252*x^51 + 32468436*x^50 - 231917400*x^49 - 202927725*x^48 + 1217566350*x^47 + 1040465790*x^46 - 5317936260*x^45 - 4431613550*x^44 + 19499099620*x^43 + 15820024220*x^42 - 60403728840*x^41 - 47626016970*x^40 + 158753389900*x^39 + 121399651100*x^38 - 354860518600*x^37 - 262596783764*x^36 + 675248872536*x^35 + 482320623240*x^34 - 1093260079344*x^33 - 751616304549*x^32 + 1503232609098*x^31 + 991493848554*x^30 - 1749695026860*x^29 - 1103068603890*x^28 + 1715884494940*x^27 + 1029530696964*x^26 - 1408831480056*x^25 - 800472431850*x^24 + 960566918220*x^23 + 513791607420*x^22 - 538257874440*x^21 - 269128937220*x^20 + 244662670200*x^19 + 113380261800*x^18 - 88732378800*x^17 - 37711260990*x^16 + 25140840660*x^15 + 9669554100*x^14 - 5414950296*x^13 - 1852482996*x^12 + 854992152*x^11 + 254186856*x^10 - 94143280*x^9 - 23535820*x^8 + 6724520*x^7 + 1344904*x^6 - 278256*x^5 - 40920*x^4 + 5456*x^3 + 496*x^2 - 32*x - 1)
(x - 2) * (x + 1) * (x^2 + x - 1) * (x^4 - x^3 - 4*x^2 + 4*x + 1) * (x^8 + x^7 - 7*x^6 - 6*x^5 + 15*x^4 + 10*x^3 - 10*x^2 - 4*x + 1) * (x^16 - x^15 - 16*x^14 + 16*x^13 + 103*x^12 - 103*x^11 - 339*x^10 + 339*x^9 + 596*x^8 - 596*x^7 - 526*x^6 + 526*x^5 + 188*x^4 - 188*x^3 - 16*x^2 + 16*x + 1) * (x^32 - x^31 - 32*x^30 + 31*x^29 + 464*x^28 - 433*x^27 - 4033*x^26 + 3600*x^25 + 23426*x^24 - 19826*x^23 - 95978*x^22 + 76152*x^21 + 285340*x^20 - 209188*x^19 - 623732*x^18 + 414544*x^17 + 1004699*x^16 - 590154*x^15 - 1183593*x^14 + 593422*x^13 + 1001431*x^12 - 407890*x^11 - 589403*x^10 + 181071*x^9 + 228888*x^8 - 46882*x^7 - 53690*x^6 + 5686*x^5 + 6516*x^4 - 116*x^3 - 304*x^2 - 16*x + 1) * (x^64 + x^63 - 63*x^62 - 63*x^61 + 1890*x^60 + 1889*x^59 - 35932*x^58 - 35873*x^57 + 486040*x^56 + 484387*x^55 - 4978721*x^54 - 4949460*x^53 + 40135734*x^52 + 39768391*x^51 - 261246752*x^50 - 257766664*x^49 + 1397807321*x^48 + 1371959281*x^47 - 6226966599*x^46 - 6072592044*x^45 + 23309841945*x^44 + 22555379660*x^43 - 73804236025*x^42 - 70749474744*x^41 + 198539093721*x^40 + 188202565640*x^39 - 455028804195*x^38 - 425623922026*x^37 + 889677342053*x^36 + 819085074021*x^35 - 1483995160988*x^34 - 1340695894068*x^33 + 2109175557378*x^32 + 1863115564196*x^31 - 2548162251332*x^30 - 2191164889937*x^29 + 2607347572507*x^28 + 2170826915603*x^27 - 2248482881977*x^26 - 1800453072820*x^25 + 1623839385039*x^24 + 1240017586340*x^23 - 974322294815*x^22 - 701888983499*x^21 + 480938970942*x^20 + 322236753466*x^19 - 192943461475*x^18 - 117975485920*x^17 + 61970951664*x^16 + 33690203948*x^15 - 15636753497*x^14 - 7283849110*x^13 + 3024537754*x^12 + 1143070297*x^11 - 433711310*x^10 - 122105234*x^9 + 43881500*x^8 + 7935450*x^7 - 2885456*x^6 - 241332*x^5 + 105056*x^4 + 160*x^3 - 1408*x^2 + 64*x + 1) * (x^128 + x^127 - 127*x^126 - 126*x^125 + 7875*x^124 + 7750*x^123 - 317750*x^122 - 310124*x^121 + 9381251*x^120 + 9078630*x^119 - 216071394*x^118 - 207288004*x^117 + 4042116078*x^116 + 3843323484*x^115 - 63140314380*x^114 - 59487568920*x^113 + 840261910995*x^112 + 784244450262*x^111 - 9672348219898*x^110 - 8940826085620*x^109 + 97455004333258*x^108 + 89196105660948*x^107 - 867634845974676*x^106 - 786062339088168*x^105 + 6878045467021470*x^104 + 6166523522157180*x^103 - 48857840214014580*x^102 - 43334780015908584*x^101 + 312629484400483356*x^100 + 274236389824985400*x^99 - 1809960172844903640*x^98 - 1569699972909739440*x^97 + 9516306085765295355*x^96 + 8156833787798824590*x^95 - 45582306461228725650*x^94 - 38601232498698200100*x^93 + 199439701243274033850*x^92 + 166804113767101919220*x^91 - 798903913305593402580*x^90 - 659645433004618405800*x^89 + 2935422176870551905810*x^88 + 2391825477450079330660*x^87 - 9908991263721757227020*x^86 - 7964235968972627303960*x^85 + 30770911698303332765300*x^84 + 24384496062806414644200*x^83 - 87996224922301409368200*x^82 - 68720861367892529220880*x^81 + 231932907116637286120470*x^80 + 178409928551259450861900*x^79 - 563775374221979864723604*x^78 - 426936691158392518916904*x^77 + 1264389431507547075253908*x^76 + 942094086221309585483304*x^75 - 2616928017281415515231400*x^74 - 1917353200780443050763600*x^73 + 4998813702034726525205100*x^72 + 3599145865465003098147672*x^71 - 8811701946483283447189128*x^70 - 6230496325796261023265040*x^69 + 14330141549331400353509592*x^68 + 9943363524025869633047472*x^67 - 21490495358378492432715504*x^66 - 14622398903638974232569312*x^65 + 29701747773016666409906415*x^64 + 19801165182011110939937610*x^63 - 37802224438384848158062710*x^62 - 24670925422945900903156716*x^61 + 44262542670579410443898814*x^60 + 28252686811008134325892860*x^59 - 47625957767127997863647964*x^58 - 29702210220359396517113784*x^57 + 47028499515569044485430158*x^56 + 28626043183389853165044444*x^55 - 42552226353687619569660660*x^54 - 25250771682408037986392040*x^53 + 35218181557042789823125740*x^52 + 20348282677402500786694872*x^51 - 26609292731987885644139448*x^50 - 14949040860667351485471600*x^49 + 18312575054317505569702710*x^48 + 9988677302355003038019660*x^47 - 11450434956358174214315220*x^46 - 6054252965430758779982760*x^45 + 6486699605818670121410100*x^44 + 3318776542511877736535400*x^43 - 3318776542511877736535400*x^42 - 1639866056299986646288080*x^41 + 1528057007006805738586620*x^40 + 727646193812764637422200*x^39 - 630626701304396019099240*x^38 - 288720658428518659346640*x^37 + 232231833953373704257080*x^36 + 101955439296603089673840*x^35 - 75924263305981024225200*x^34 - 31869443856831541032800*x^33 + 21910242651571684460050*x^32 + 8764097060628673784020*x^31 - 5544632834275283414380*x^30 - 2105556772509601296600*x^29 + 1221222928055568752028*x^28 + 438387717763537500728*x^27 - 232087615286578676856*x^26 - 78367246720143449328*x^25 + 37676560923145889100*x^24 + 11897861344151333400*x^23 - 5163222847461899400*x^22 - 1514545368588823824*x^21 + 588989865562320376*x^20 + 159186450151978480*x^19 - 54991682779774384*x^18 - 13559593014190944*x^17 + 4116305022165108*x^16 + 914734449370024*x^15 - 240719591939480*x^14 - 47465835030320*x^13 + 10638894058520*x^12 + 1823810410032*x^11 - 340032449328*x^10 - 49280065120*x^9 + 7392009768*x^8 + 869648208*x^7 - 99795696*x^6 - 8936928*x^5 + 720720*x^4 + 43680*x^3 - 2080*x^2 - 64*x + 1)

MrJ · February 2018

En effet, en notant $\phi(z)=z^2-2$, j'ai obtenu le polynôme en cherchant les points fixe $\phi^{\circ 3}$.

GaBuZoMeu · February 2018

Les facteurs irréductibles sur $\Z$ de degrés inférieurs ou égaux à 8 des polynômes trouvés sont :

[x - 2,
 x + 1,
 x^2 + x - 1,
 x^3 - 3*x + 1,
 x^3 + x^2 - 2*x - 1,
 x^4 - x^3 - 4*x^2 + 4*x + 1,
 x^5 + x^4 - 4*x^3 - 3*x^2 + 3*x + 1,
 x^6 + x^5 - 5*x^4 - 4*x^3 + 6*x^2 + 3*x - 1,
 x^6 - x^5 - 6*x^4 + 6*x^3 + 8*x^2 - 8*x + 1,
 x^8 + x^7 - 7*x^6 - 6*x^5 + 15*x^4 + 10*x^3 - 10*x^2 - 4*x + 1]

Tout produit de certains de ces facteurs (sans répétition) de degré 8 fournit une réponse à la question de Soland, si on ajoute la condition que les polynômes cherchés soient à coefficients entiers. Sinon, il y en a plus !

jacquot · February 2018

Bonjour,
Les polynômes de GBZM et leurs racines:
$X-2$ : $x_1=2\cos 2\pi$
$X+1$ : $ x_1=2\cos \frac{2\pi}3$
$X^2+X-1$ : $x_1=2\cos \frac{2\pi}5\; ;\; x_2=2\cos \frac{4\pi}5$
$X^3+X^2-2X+1$ : $x_1=2\cos \frac{2\pi}7\; ;\; x_2=2\cos \frac{4\pi}7\; ;\; x_3=2\cos \frac{8\pi}7$
$X^3-3X+1$ : $x_1=2\cos \frac{2\pi}9\; ;\; x_2=2\cos \frac{4\pi}9\; ;\; x_3=2\cos \frac{8\pi}9$
$X^5+X^4-4X^3-3X^2+3X+1$ : $\left\{ 2\cos \frac{2\pi}{11};2\cos \frac{4\pi}{11};2\cos \frac{8\pi}{11};2\cos \frac{16\pi}{11};2\cos \frac{32\pi}{11}\right\}$
$X^6+X^5-5X^4-4X^3+6X^2+3X-1$ :
$\left\{ 2\cos \frac{2\pi}{13};2\cos \frac{4\pi}{13};2\cos \frac{8\pi}{13};2\cos \frac{16\pi}{13};2\cos \frac{32\pi}{13};2\cos \frac{64\pi}{13}\right\}$
$X^4-X^3-4X^2+4X+1$ :
$\left\{ 2\cos \frac{2\pi}{15};2\cos \frac{4\pi}{15};2\cos \frac{8\pi}{15};2\cos \frac{16\pi}{15}\right\}$

$????\ degré\ 4$ : $\left\{2\cos\frac{2^k\pi}{17}\right\}$
Les $2\cos\frac{2^k\pi}{19}$ ne fournissent pas de polynôme-solution parce que le cycle est trop long.

$X^6-X^5-6X^4+6X^3+8X^2-8X+1$ :
$\left\{ 2\cos \frac{2\pi}{21};2\cos \frac{4\pi}{21};2\cos \frac{8\pi}{21};2\cos \frac{16\pi}{21};2\cos \frac{32\pi}{21};2\cos \frac{64\pi}{21}\right\}$

Etc.
Je ne sais pas comment construire le polynôme à coefficients entiers pour une famille de solutions, j'ai bricolé avec Geogebra pour établir les correspondances.

Visiblement, il manque un polynôme de degré 4 dans la liste fournie par GBZM.

À vous Cognacq-Jay.
Amicalement. jacquot

GaBuZoMeu · February 2018

Visiblement, il manque un polynôme de degré 4 dans la liste fournie par GBZM.

Hum, Jacquot, as-tu comparé les $2\cos\left(\dfrac{2^k\pi}{17}\right)$ aux racines du polynôme de degré 8 de ma liste ?
Ce n'est pas parce qu'on a un polynôme irréductible que sur $\Q$ que les racines forment un seul cycle de longueur le degré de ce polynôme !

Chaurien · February 2018

Avec ces moyens fabuleux, quelqu'un peut sans doute calculer le polynôme dont j'ai donné les racines dans mon premier message.

GaBuZoMeu · February 2018

Ce n'est pas un polynôme à coefficients entiers, en tout cas. C'est un facteur, sur une extension de $\Q$, du polynôme irréductible sur $\Q$ :

x^64 + x^63 - 63*x^62 - 63*x^61 + 1890*x^60 + 1889*x^59 - 35932*x^58 - 35873*x^57 + 486040*x^56 + 484387*x^55 - 4978721*x^54 - 4949460*x^53 + 40135734*x^52 + 39768391*x^51 - 261246752*x^50 - 257766664*x^49 + 1397807321*x^48 + 1371959281*x^47 - 6226966599*x^46 - 6072592044*x^45 + 23309841945*x^44 + 22555379660*x^43 - 73804236025*x^42 - 70749474744*x^41 + 198539093721*x^40 + 188202565640*x^39 - 455028804195*x^38 - 425623922026*x^37 + 889677342053*x^36 + 819085074021*x^35 - 1483995160988*x^34 - 1340695894068*x^33 + 2109175557378*x^32 + 1863115564196*x^31 - 2548162251332*x^30 - 2191164889937*x^29 + 2607347572507*x^28 + 2170826915603*x^27 - 2248482881977*x^26 - 1800453072820*x^25 + 1623839385039*x^24 + 1240017586340*x^23 - 974322294815*x^22 - 701888983499*x^21 + 480938970942*x^20 + 322236753466*x^19 - 192943461475*x^18 - 117975485920*x^17 + 61970951664*x^16 + 33690203948*x^15 - 15636753497*x^14 - 7283849110*x^13 + 3024537754*x^12 + 1143070297*x^11 - 433711310*x^10 - 122105234*x^9 + 43881500*x^8 + 7935450*x^7 - 2885456*x^6 - 241332*x^5 + 105056*x^4 + 160*x^3 - 1408*x^2 + 64*x + 1

jacquot · February 2018

@ GBZM
Les $2\cos \frac {2^k\pi}{15}$ donnnent les racines de ton polynôme de degré 4.
Les $ \frac {2^k\pi}{17}$ donnent un 4-cycle because $\dfrac {32\pi}{17}=2\pi-\dfrac{2\pi}{17}$, Non ?

GaBuZoMeu · February 2018

@ Jacquot : je répète la question de ce message. Tu n'y as pas répondu.

Chaurien · February 2018

Il me semble pourtant que la suite de racines que j'ai proposée convient pour un polynôme de degré 8, enfin, tant pis.

GaBuZoMeu · February 2018

Chaurien, n'as-tu pas lu ce que j'ai écrit ? Pour un polynôme de degré 8, oui, mais pas pour un polynôme de degré 8 à coefficients entiers !

Chaurien · February 2018

Mille excuses, j'ai cru qu'il s'agissait du polynôme de degré 64.

Chaurien · February 2018

L'application $z \mapsto z^2-2$ est conjuguée de l'application $z \mapsto 2 z^2-1$, ce qui appelle « naturellement » $2 \cos \theta$. Ce fait intervient dans plusieurs problèmes. Il me semble en avoir vu passer un sur ce forum il n'y a pas longtemps, mais je n'ai plus la référence. On le trouve dans le problème 2 de la 18ème Olympiade internationale, 1976, Lienz (Autriche).
Bonne journée.
Fr. Ch.

jacquot · February 2018

Bonsoir GaBu & Co,

Excusez ma réponse tardive, j'étais consigné cet après-midi :-(.
Caramba, GBZM a encore raison: les $2\cos\dfrac{2^k\pi}{17}$ sont quatre des racines
de son polynôme du $8^{ème}$ degré , voir figure ci-dessous. [small]GBZM a (presque) toujours raison[/small]
Ce sont évidemment des algébriques puisque le $17-$gone régulier est constructible.
Il me reste à déterminer quelles sont les 4 autres et à montrer qu'elles forment aussi un cycle pour $x\mapsto x^2-2$.

Je termine par mes salutations amicales à tous et un petit MP pour @soland :
Regarde dans ta boîte-mail, je t'ai envoyé quelque chose. 72454

jacquot · February 2018

Sur le graphique ci-dessous, les boules vertes représentent les quatre autres racines du polynôme de GBZM de degré 8,
à savoir $\left\{2\cos\frac {6\pi}{17};2\cos\frac {12\pi}{17};2\cos\frac {24\pi}{17};2\cos\frac {48\pi}{17}\right\}$

Maintenant, il me reste à comprendre pourquoi ce polynôme ne peut pas être factorisé en deux polynômes de degré 4...
@ suivre. jacquot

GaBuZoMeu · February 2018

Il le peut, mais pas sur $\Q$ !

jacquot · February 2018

Je pense avoir compris GBZM, merci.
J'ai calculé le produit des rouges $\Pi_{rouges}=\Pi_{verts}=-1$
et aussi les sommes $\Sigma_{rouges}\ et\ \Sigma_{verts}$ : elles n'ont pas l'air d'être rationnelles.
Alors les coefficients de $X^3$ des polynômes de degré 4 ne sont vraisemblablement pas rationnels.

claude quitté · February 2018

Hello,
Je n'ai pas tout suivi. Juste une petite remarque. Pour $n \ge 1$, je note $F_n$ le polynôme minimal de $\zeta_n + \zeta_n^{-1}$ où $\zeta_n$ est une racine primitive d'ordre $n$. Ainsi, $F_1 = x-2$, $F_2 = x+2$ et pour $n \ge 3$, $F_n$ est un polynôme unitaire irréductible de $\Z[x]$ de degré $\varphi(n) / 2$. Par exemple, $F_{255} = F_{2^8 - 1}$ est le polynôme de degré 64 fourni par GBZM. Autre exemple que l'on a vu passer, le polynôme $F_{17}$ de degré $8$ :

> F(17) ;
x^8 + x^7 - 7*x^6 - 6*x^5 + 15*x^4 + 10*x^3 - 10*x^2 - 4*x + 1

En notant $f^{\circ d}$ le $d$-ième itéré de $f = x^2 - 2$, j'ai remarqué, pour des petites valeurs de $d$, que :
$$
f^{\circ d}(x) - x \quad \hbox {est un produit de polynômes $F_n$}
$$
Par exemple, pour $d=6$ :
$$
f^{\circ 6}(x) - x = F_1 F_3 F_5 F_7 F_9 F_{13} F_{21} F_{63} F_{65}
$$
Les petites valeurs de $d$ dont je parle :

assert I(2) - x eq F(1) * F(3) * F(5) ;
assert I(3) - x eq F(1) * F(3) * F(7)  * F(9) ;
assert I(4) - x eq F(1) * F(3) * F(5)  * F(15) * F(17) ;
assert I(5) - x eq F(1) * F(3) * F(11) * F(31) * F(33) ;
assert I(6) - x eq F(1) * F(3) * F(5)  * F(7)  * F(9) * F(13) * F(21) * F(2^6-1) * F(2^6+1) ;
assert I(7) - x eq F(1) * F(3) * F(43) * F(2^7-1) * F(2^7+1) ;
assert I(8) - x eq F(1) * F(3) * F(5) * F(15) * F(17) * F(51) * F(85) * F(2^8-1) * F(2^8+1) ;
assert I(9) - x eq F(1) * F(3) * F(7) * F(9) * F(19) * F(27) * F(57) * F(73) * F(171) * F(2^9-1) * F(2^9+1) ;

Je n'ai pas réfléchi.

GaBuZoMeu · February 2018

Pour faire plaisir à Jacquot, séparons les deux 4-cycles des racines du polynôme de degré 8
$$ x^8 + x^7 - 7x^6 - 6x^5 + 15x^4 + 10x^3 - 10x^2 - 4x + 1\;.$$
Pour cela, on va sur l'extension quadratique $\mathbb Q(c)$ où $c^2=c+4$ et alors notre polynôme se factorise en
$$(x^4 + (-c + 1)x^3 - (c +1)x^2 + (2c + 1)x - 1) \, (x^4 + cx^3 + (c - 2)x^2 + (-2c + 3)x - 1)\;.$$

jacquot · February 2018

Encore une fois merci, GBZM !
J'avance à mon rythme, au risque d'enfoncer des portes ouvertes.
Je voudrais remarquer ce matin que toutes les solutions de nos polynômes sont de la forme $2\cos\left(\dfrac{2^{p+1}n\pi}{2^k\pm 1}\right)$ avec $n$ entier, $n\geqslant 1$, $k$ entier, $1\leqslant k\leqslant 8$ et $p$ entier $0\leqslant p< k$.

Justification :
Soit $(u_p)$ une suite définie par $u_0$ et $u_{p+1}=u_p^2-2$
Si $u_0=-2$, tous les termes suivants sont égaux à $2$.
Si $u_0=2$, alors $(u_p)$ est constante.
Si $|u_0|>2$, alors $(u_p)$ est strictement croissante.

Soit $P(X)$ un polynôme de soland et $x_0$ une de ses racines.
Alors la suite définie par $x_0$ et $x_{p+1}=x_p^2-2$ doit être périodique, de période $ k\leqslant 8$, donc $x_0\in ]-2;2]$.
Alors il existe $\theta\in[0;\pi[$ tel que $\boxed{x_0=2\cos \theta}$ et $\boxed{x_p=2\cos(2^p\theta)}$. De plus, la période $k\leqslant 8$ impose : $\exists n\geqslant 1\ ;\ 2^k\theta=2n\pi\pm\theta$, c'est à dire $\theta=\dfrac {2n\pi}{2^k\pm 1}$
Alors pour toute racine $x_p$ du cycle de $x_0$, on a $x_p=2\cos\left(\dfrac{2^{p+1}n\pi}{2^k\pm 1}\right)$

Les cycles de racines possibles sont
$\left\{2\cos\frac {2\pi}1\right\}$ et $\left\{2\cos\frac {2\pi}3\right\}$
$\left\{2\cos\frac {2\pi}5;2\cos\frac {4\pi}5\right\}$
$\left\{2\cos\frac {2\pi}7;2\cos\frac {4\pi}7;2\cos\frac {8\pi}7\right\}$
$\left\{2\cos\frac {2\pi}9;2\cos\frac {4\pi}9;2\cos\frac {8\pi}9\right\}$ on notera que $\frac {6\pi}9=\frac {2\pi}3$ et $\frac {10\pi}9=2\pi-\frac {8\pi}9$ il n'y a donc pas d'autre cycle en $\frac {2n\pi}9$

$\left\{2\cos\frac {2\pi}{15};2\cos\frac {4\pi}{15};2\cos\frac {8\pi}{15};2\cos\frac {16\pi}{15}\right\}$ avec la remarque $\frac {6\pi}{15}=\frac {2\pi}5$ et $\frac{10\pi}{15}=\frac{2\pi }3$ etc.

$\left\{2\cos\frac {2\pi}{17};2\cos\frac {4\pi}{17};2\cos\frac {8\pi}{17};2\cos\frac {16\pi}{17}\right\}$ et $\left\{2\cos\frac {6\pi}{17};2\cos\frac {12\pi}{17};2\cos\frac {24\pi}{17};2\cos\frac {14\pi}{17}\right\}$

$\left\{2\cos\frac {2\pi}{31};2\cos\frac {4\pi}{31};2\cos\frac {8\pi}{31};2\cos\frac {16\pi}{31}; 2\cos\frac{32\pi}{31}\right\}$
et $\left\{2\cos\frac {6\pi}{31};2\cos\frac {12\pi}{31};2\cos\frac {24\pi}{31};2\cos\frac {48\pi}{31}; 2\cos\frac{34\pi}{31}\right\}$
et $\left\{2\cos\frac {10\pi}{31};2\cos\frac {20\pi}{31};2\cos\frac {40\pi}{31};2\cos\frac {18\pi}{31}; 2\cos\frac{36\pi}{31}\right\}$
Les autres multiples de $\frac {2\pi}{31}$ génèrent des cycles qui se trouvent déjà dans cette liste, par exemple $\cos\frac {22\pi}{31}=\cos\frac {40\pi}{31}$

$\left\{2\cos\frac {2\pi}{33};2\cos\frac {4\pi}{33};2\cos\frac {8\pi}{33};2\cos\frac {16\pi}{33}; 2\cos\frac{32\pi}{33}\right\}$
Les $\left\{2\cos\dfrac{2^{p+1}.3\pi}{33}\right\}$ fournissent un cycle de période 5 en $\frac {2\pi}{11}$ et $\left\{2\cos\dfrac{2^{p+1}.11\pi}{33}\right\}$ restitue la racine en $\frac{2\pi}3$

Après cette observation, j'abrège :
Les $\left\{2\cos\dfrac{2^{p+1}.3\pi}{63}\right\}$ fournissent un cycle de période 6 en $\frac {2\pi}{21}$ et les $\left\{2\cos\dfrac{2^{p+1}.7\pi}{63}\right\}$ restituent le cycle en $\frac {2\pi}{9}$etc.

Les $\left\{2\cos\dfrac{2^{p+1}.5\pi}{65}\right\}$ fourniront un cycle de longueur 6 en $\frac {2\pi}{13}$...

Les $\left\{2\cos\dfrac{2^{p+1}.n\pi}{127}\right\}$ fourniront plusieurs cycles de longueur 7 et rien d'autre puisque 127 est premier.
Les $\left\{2\cos\dfrac{2^{p+1}.3\pi}{129}\right\}$ fourniront un (ou plusieurs ?) cycles de période 7 en $\frac {2\pi}{43}$

Etc.
À lire la production de claude quitté, je me rends compte que je manque de connaissances ou d'outils pour m'exprimer de façon concise. Je me suis beaucoup amusé quand il a écrit "je n'ai pas réfléchi"(:D.

Il reste à savoir calculer les polynômes associés à tous ces cycles. Je me suis levé ce matin avec une idée que j'essayerai de coucher sur l'écran plus tard. Pour les petits dénominateurs, on aura des polynômes à coefficients entiers comme me l'a fait remarquer GBZM. Pour les plus gros ce ne sera plus le cas puisqu'à l'instar des $\frac{2\pi}{31}$, on aura plusieurs cycles de racines.

Amicalement. jacquot

claude quitté · February 2018

@Jacquot
Quand je dis que je n'ai pas réfléchi, je veux dire que je n'ai pas réfléchi pourquoi les diviseurs irréductibles (sur $\Q$) de $f^{\circ d}(x) - x$ sont des polynômes $F_n$. D'ailleurs, je n'en sais rien, je l'ai juste observé pour $d \le 9$.

Comment j'en suis venu là ? J'ai examiné les polynômes (irréductibles) fournis par GBZM in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1606176,1606308#msg-1606308 et je me suis dit (mais cela avait peut-être été déjà mentionné) que cela avait un rapport avec les polynômes minimaux de
$$
\zeta_n + \zeta_n^{-1} = 2 \cos {2\pi \over n}
$$
Mon système de Calcul Formel est susceptible de me fournir ces polynômes $F_n$. Le problème est ensuite de reconnaître si un polynôme donné est un $F_n$ et quel $F_n$. Prenons par exemple le polynôme $P$ :

> P ;         
x^6 - x^5 - 5*x^4 + 4*x^3 + 6*x^2 - 3*x - 1

Est ce que $P$ est un $F_n$ ? Comme $F_n$ est de degré $\varphi(n)/2$ pour $n \ge 3$ ($\varphi$ est l'indicateur d'Euler), il faut d'abord résoudre $\varphi(n)/2 = 6$. De manière générale, pour $m$ fixé, l'équation en $n$, $\varphi(n) = m$ a un nombre fini de solutions, solutions qu'un système de Calcul Formel peut fournir :

> EulerPhiInverse(2*6) ;
[ 13, 21, 26, 28, 36, 42 ]

Ci-dessus, cela signifie donc que $\varphi(13)/2 = \varphi(21)/2 = \varphi(26)/2 = \cdots = 6$. Il ne reste plus qu'à calculer les $F_n$ pour ces valeurs de $n$.

> [F(n) : n in EulerPhiInverse(2*6)] ;
[
    x^6 + x^5 - 5*x^4 - 4*x^3 + 6*x^2 + 3*x - 1,
    x^6 - x^5 - 6*x^4 + 6*x^3 + 8*x^2 - 8*x + 1,
    x^6 - x^5 - 5*x^4 + 4*x^3 + 6*x^2 - 3*x - 1,
    x^6 - 7*x^4 + 14*x^2 - 7,
    x^6 - 6*x^4 + 9*x^2 - 3,
    x^6 + x^5 - 6*x^4 - 6*x^3 + 8*x^2 + 8*x + 1
]

Bilan : $P = F_{26}$. Tu vois donc que c'est plutôt bourrin comme manière de procéder.

PS : j'ai juste réfléchi (et démontré) au fait que $d_1 \mid d_2 \Rightarrow f^{\circ d_1}(x) - x \mid f^{\circ d_2}(x) - x$.

claude quitté · February 2018

Suite,

Peut-on s'amuser longtemps en itérant $x \mapsto x^2 + c$ (ici $c$ est vu comme une indéterminée) ? Je pense que oui, cf l'article Cycles of Quadratic Polynomials and Rational Points on a Genus-Two Curve in https://arxiv.org/abs/math/9508211. L'article a été publié en 1997 https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077232810

jacquot · February 2018

Merci claude !
J'essayerai de comprendre ces explications. En attendant voici un exemple d'obtention du polynôme caractéristique d'un cycle de solutions.
Je me place dans un cas ni trop simple, ni trop compliqué $k=3$ et $2^k+1 = 9$.

La formule de de Moivre donne $\cos(9\theta)=c^9-36c^7(1-c^2)+126c^5(1-c^2)^2-94c^3(1-c^2)^3+9c(1-c^2)^4$ où $c=cos(\theta)$
soit $\cos(9\theta)=256c^9-576c^7+432c^5-120c^3+9c$.
L'équation caractéristique ? des abscisses des sommets de l'ennéagone de rayon 1 est $\cos(9\theta)=1$,
soit $256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x-1=0$
L'équation caractéristique des doubles des racines de celui-ci c'est à dire les $2\cos\frac{2k\pi}9$ est :
$256 \frac{x^9}{2^9}-576\frac{x^7}{2^7}+432\frac{x^5}{2^5}-120\frac{x^3}{2^3}+9\frac x 2 -1=0$
soit $x^9-9x^7+27x^5-30x^3+9x-2=0$

Maintenant quelques observations faites dans mon étude précédente me permettent de factoriser:

D'abord $2$ est une solution évidente puisque $2=2\cos\frac {2\pi}1$
De plus $-1$ est une solution double puisque l'ensemble des sommets de l'ennéagone contient l'ensemble des sommets du triangle équilatéral et $-1=2\cos\frac{2\pi}3=2\cos\frac {4\pi}3$

La factorisation donne $(x-2)(x+1)^2(x^6-6x^4+2x^3+9x^2-6x+1)=0$

Mais nous avons vu que le cycle des solutions en $\frac {2^{p+1}n\pi}9$ est obtenu deux fois.
$x^6-6x^4+2x^3+9x^2-6x+1$ est donc un carré parfait. D'où la factorisation:
$$\boxed{(x-2)(x+1)^2(x^3-3x+1)^2=0}$$ On retrouve des facteurs polynomiaux fréquentés plus haut.

Après l'observation de ce cas particulier de complexité moyenne, jai à peu près compris ce qui se passe, et pourquoi certains cycles fournissent des polynômes à coefficients entiers et d'autres non. Mais je serais incapable de présenter une généralisation par manque d'outils et de vocabulaire.

Amicalement, et merci à l'initiateur de la discussion qui est resté bien discret;-).

Foys · February 2018

Soit $\varphi: z \in \C \mapsto z^2-2 \in \C$. On voit que $\varphi(-1)=-1$. Soit $E_0:= \{-1\}$ et on définit par induction $E_{n+1}= \{z \in \C\mid \varphi(z)\in E_n\} \cup E_n$ (édité). On a bien sûr $\varphi(E_n) \subseteq E_n$ pour tout $n$.

On a $E_3=\left \{1,-1, \sqrt 3, -\sqrt 3, \sqrt{2+\sqrt 3}, \sqrt{2-\sqrt 3} \right \}$; $\prod_{a \in E_3} (X-a)=(X^2-3)(X^2-1) (X^4-4X^2+1)$ et ce polynôme a toutes ses racines distinctes.

Par contre s'il s'agit de trouver $P$ de degré $8$ à racines distinctes tel que $\varphi\left (P^{-1} (0) \right)$ est égal à $P^{-1} (0)$ (et non pas seulement inclus dedans), ça va être une autre affaire...

MrJ · February 2018

N'y aurait-il pas une erreur dans ta définition de $E_n$? Il me semble qu'actuellement, on a $E_n=E_1$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$.

Foys · February 2018

Tout à fait MrJ, je viens d'éditer mon message.

GaBuZoMeu · February 2018

Euh Foys, as-tu lu le fil ? Il me semble que "une autre affaire" a déjà été résolue, non ? En tout cas, complètement et explicitement pour les polynômes à coefficients entiers.

Foys · February 2018

Je reconnais que j'avais juste parcouru le fil des yeux- mea culpa.
Je vois que j'arrive après la fête :-(

claude quitté · February 2018

@Foys
Certes, un certain contrat a été rempli. Mais la fête n'est pas terminée pour autant : si tu regardes bien, tu verras qu'i y a encore à manger et à boire.

AP · February 2018

@Claude Quitté
pour moi le fait que tous les facteurs irréductibles de $f^{\circ d}(x)-x$ sont des $F_n$ vient
essentiellement des polynômes $T_n$ de Tchébycheff
les indices des facteurs $F$ intervenant dans la décomposition de $f^{\circ d}(x)-x$
sont les diviseurs de $2^d-1$ et ceux de $2^d+1$, donc impairs

Cela d'après (" vite dit" ) :
$f^{\circ d}(a+1/a)$ s'exprime à l'aide de $T_{2^{d}}$
les $F_n$ ont pour racines les $a+1/a$ avec $a$ racine $n-$ième de 1 primitive
(Ces $F_n$ peuvent s'écrire à l'aide des $T_k$, mais cela ne me semble pas utile ici)
et bien sûr $T_k(\cos u)=\cos(ku)$

claude quitté · February 2018

@AP
En plein dans le mille. Attention à la ligne 4, ton deuxième $2^d - 1$ doit être remplacé par $2^d + 1$.

Du coup, je me suis permis de nommer AP la fonction telle que AP($d$) est la liste des diviseurs de $2^d - 1$ et $2^d + 1$

> [AP(d) : d in [2..9]] ;
[
    [ 1, 3, 5 ],
    [ 1, 3, 7, 9 ],
    [ 1, 3, 5, 15, 17 ],
    [ 1, 3, 11, 31, 33 ],
    [ 1, 3, 5, 7, 9, 13, 21, 63, 65 ],
    [ 1, 3, 43, 127, 129 ],
    [ 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257 ],
    [ 1, 3, 7, 9, 19, 27, 57, 73, 171, 511, 513 ]
]
> AP(10) ;
[ 1, 3, 5, 11, 25, 31, 33, 41, 93, 205, 341, 1023, 1025 ]
// Pour d=10, je vérifie que (itéré de x -> x^2 - 2 d'ordre d) - x est le produit des F_n pour n dans AP(d)
> d := 10 ; time I(d)-x eq &*[F(n) : n in AP(d)] ;
true
Time: 13.680

Faut maintenant (enfin) que je réfléchisse. Merci.

LOU16 · February 2018

Bonjour Claude,

En reprenant tes notations et en définissant, pour tout entier naturel $n\:\text{impair}\: P_n(X) := \displaystyle{\prod_{k=1}^{(n-1)/2}(X-\zeta _n^k-\zeta _n^{-k})}$ , on a:
$(X-2)P_n(X) = \displaystyle{\prod_{d|n} F_d (X)}$. (polynômes unitaires de $\mathbb Z[X]$)
D'autre part, $f^{\circ n}(X)-X$ est un polynôme unitaire de degré $2^n$ et admettant pour racines:
$$2,\:\:\: \:\zeta_{2^n-1}^k + \zeta_{2^n-1}^{-k} \:\:\text{où} \: 1\leq k \leq 2^{n-1}-1,\:\:\text{et}\:\: \zeta_{2^n+1}^k +\zeta_{2^n+1}^{-k} \:\:où\:1\leq k\leq2^{n-1}.$$
(cette dernière affirmation repose sur le fait que :$\forall z\in \mathbb C^* , f^{\circ n} (z+z^{-1})= z ^{2^n} + z^{-2^n}.$
Ces racines sont distinctes et au nombre de $2^n$, ce qui permet la factorisation:
$f^{\circ n}(X)-X= (X-2) P_{2^n-1} (X)P_{2^n+1}(X)$, c'est à dire:$$\boxed{ f^{\circ n}(X) -X =\displaystyle{ \prod_ {d\in \mathcal D_n} F_d(X) }}$$
où $\mathcal D_n = \{ d\in \mathbb N \mid d\:\text{divise}\: 2^n-1\:\text{ou}\: 2^n+1\}$ . $\:\:\:\:\:(F_d =\text{Irr}(\mathbb Q\:; \zeta_d+\zeta_d^{-1}))$
Pour répondre donc à la question qui initiait le sujet , ce polynôme, ainsi décomposé en facteurs irréductibles de $\mathbb Z [X]$, est l' unique polynôme unitaire de $\mathbb C[X]$ de degré $2^n$, dont l'ensemble des racines distinctes est stable par $ f:\:z\mapsto z^2-2$.

Amicalement.

claude quitté · February 2018

AP et LOU16,

Et pendant que nous y sommes (enfin surtout vous), en notant $T_m(X)$ le polynôme de Tchebychev RENDU UNITAIRE i.e.
$$
T_m(X) = 2T^{\rm ordinaire}_m(X/2)
$$
pourriez vous fournir la factorisation de $T_m$ en fonction des $F_n$ ?

Et peut-être du coup, il y aurait une grosse récompense de la part de Soland, qui sait ? (chocolats, caramels, ..etc..)

jacquot · February 2018

Bonsoir,

Il me semble que j'ai, à la manière de Monsieur Jourdain fait cette factorisation dans le cas particulier $T_9$ là-haut, non?

claude quitté · February 2018

@Jacquot
Le polynôme de Chebychev HABITUEL $T_n$ est bien celui qui vérifie $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$, n'est ce pas ? Par exemple :

> ChebyshevFirst(9) ;           
256*x^9 - 576*x^7 + 432*x^5 - 120*x^3 + 9*x

// Unitarisé :
> T(9) ;
x^9 - 9*x^7 + 27*x^5 - 30*x^3 + 9*x

Est ce que l'on parle de la même chose ?
C'est quoi le coefficient constant $-1$ dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1606176,1607520#msg-1607520 ?
Peut-être que je commence à fatiguer...

En ce qui concerne la factorisation des $T^{\rm unit.}_m$ pour $m$ petit :

assert T(3) eq F(4) * F(12) ;
assert T(4) eq F(16) ;
assert T(5) eq F(4) * F(20) ;
assert T(6) eq F(8) * F(24) ;
assert T(7) eq F(4) * F(28) ;
assert T(8) eq F(32) ;
assert T(9) eq F(4) * F(12) * F(36) ;
assert T(10) eq F(8) * F(40) ;
assert T(11) eq F(4) * F(44) ;

LOU16 · February 2018

Re
Il me semble que les polynômes de Chebychev n'interviennent pas de manière claire dans la décomposition de $f^{\circ n}(X) - X$ car celle-ci ne mobilise que des $F_n$ avec $n$ impair et la décomposition des $T_n$ n'utilise que des $F_n$ avec $n$ pair.

[En typographie, jamais de " " ni avant ni après une apostrophe. ;-) AD]

claude quitté · February 2018

@LOU16
Factoriser les $T_m$ en un produit de $F_n$, c'est juste pour le fun, pour le sport. Je n'ai qu'à m'y coller, tu vas penser. C'est pas faux. Je vais voir malgré le fait que je sois à la retraite. Si j'y arrive, on partage les chocolats (tu entends, Soland ?).

AP · February 2018

Bonsoir
effectivement $T_n$ (le pas unitaire) a la parité de $n$, donc pas de terme constant si $n$ impair.

Pour la factorisation je crois qu'il faut remarquer que les racines de $2T_n(X/2)$ sont $a+1/a$ mais $a$ est une racine $2n$-ième de $-1$, donc une racine $4n$-ième de $1.$

Par exemple pour $n=4$ on peut vérifier qu'à partir des racines $16$-ièmes de $1$ primitives on obtient toutes les racines de $2T_4(X/2)$, ce qui explique $2T_4(X/2)=F_{16}$ : c'est la seule vérification que j'ai faite.

L'apparition du facteur $F_4(X)=X$ lorsque $n$ est impair correspond au fait que $T_n$ est alors impair.

jacquot · February 2018

@claude quitté
Tu remarqueras que nous avons les mêmes polynômes, aux termes constants près.
Il faut (et il suffit) que $\cos (9\theta)-1=$0 pour que $\cos\theta$ soit l'abscisse d'un point de l'ennéagone régulier de rayon 1.

claude quitté · February 2018

@Jacquot
Oui, j'ai bien vu que ``nos'' polynômes étaient les mêmes aux termes constants près. J'ai juste fait une remarque car dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1606176,1607704#msg-1607704, tu semblais parler de factorisation de $T_9$. J'ai cru que c'était ``mon'' $T_9$ ; mais dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1606176,1607520#msg-1607520, tu factorises $T_9-2$.

claude quitté · February 2018

A propos de la factorisation de $T_m$ à l'aide des $F_n$ (on n'en a rien à faire mais tant pis). Rappel : $T_m$ est le polynôme unitarisé de Chebychev i.e. celui qui vérifie $T_m(X + 1/X) = X^m + 1/X^m$ tandis que $F_n$ est le polynôme minimal (sur $\Q$) de $\zeta_n + \zeta_n^{-1}$ où $\zeta_n$ est une racine primitive d'ordre $n$.

En notant $D_m = \{ 4n' \quad n' \mid n \hbox { et } 2n' \not\mid n \}$, on a :
$$
T_m = \prod_{n \in D_m} F_n
$$
Justification (sketch) : recherche des racines de $T_m$ i.e. des $n$ tels que $T_m(\zeta_n + \zeta_n^{-1}) = 0$. Ce qui conduit à :
$$
\zeta_n^m + \zeta_n^{-m} = 0 \qquad \hbox {i.e.} \qquad \zeta_n^{2m} = -1 \qquad \hbox {i.e.} \qquad n \mid 4m \hbox { et } n \not\mid 2m
$$
On en déduit que $n$ est divisible par $4$, $n = 4n'$ ...etc..

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