Anneau euclidien

eoghan · February 2018

Bonjour,

J'essaye de montrer que l'anneau $\mathbb{Z} [\sqrt{2}] = \left\{ a + b\sqrt{2} \, | \, a,\, b \in \mathbb{Z} \right\}$ est euclidien.

Pour cela, j'ai introduit la norme :$ \begin{array}{lrcl}
N : & \mathbb{Z}[\sqrt{2}] & \longrightarrow & \mathbb{N} \\
& x = a + b\sqrt{2} & \longmapsto & |a^2 - 2b^2| \end{array}$

J'ai démontré la première condition : soit $a \, , b \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]^*$ tq $a|b$ alors $ b = ak \Rightarrow N(b) = N(a)N(k)$.

Comme $b \ne 0$, il vient que $k \ne 0$ et donc $ N(k) \geqslant 1 $, d'où $ N(a) \leqslant N(b) $.

Après viens la seconde condition : soit $ a \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ et $ b\in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]^* $, on cherche $q \, , r \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ tq $ a = bq + r$ avec $ r = 0$ ou $N(r) < N(b)$.

C'est là que ça coince...

J'ai essayé de m'inspirer de la preuve pour $\mathbb{Z} [\text{i}]$ (*), mais je n'y arrive pas. En fait, je ne comprends pas d'où découle l'existence de $u_0$ et $v_0$.

Si quelqu'un a une piste...
Merci d'avance.

(*) Disponible ici : http://www.vinc17.org/math/entgauss.pdf (paragraphe c)

Poirot · February 2018

Comme pour $\mathbb Z$, il suffit de montrer que pour tout $x \in \mathbb Q(\sqrt 2)$ (qui est le corps des fractions de ton anneau), il existe $q \in \mathbb Z[\sqrt 2]$ et $r \in \mathbb Q(\sqrt 2)$ avec $N(r) < 1$ tels que $x=q+r$. Si on écrit $x=a+b \sqrt 2$, un bon candidat pour $q$ est $\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \sqrt 2$ ou quelque chose d'affilié.

Pierre.tbx · February 2018

Tu peux aussi t'aider, en faisant un réseau sur le graphe, ça permet de bien visualiser la chose, comme pour $\mathbb{Z} [ i ]$ .

Chaurien · February 2018

C'est moins commode à visualiser dans les anneaux réels que dans les anneaux complexes.

killersmile38 · February 2018

Je développe l'idée de Poirot. On gradue l'axe $Ox$ avec les entiers relatifs, l'axe $Oy$ avec les multiples entiers de $\sqrt{2}$.

A partir de là, quand on n'est pas inspiré, on contemple le réseau, et on s'aperçoit que tout point de $\mathbb{R}^2$, et donc en particulier tout point $(u,v\sqrt{2})$, $u,v\in\mathbb{Q}$ est coincé à l'intérieur (au sens large) d'un rectangle de côtés $1$ et $\sqrt{2}$. On cherche donc à estimer la distance entre un point intérieur au rectangle au(x) sommet(s) le plus proche. Géométriquement, on sait bien que la dite distance est plus petite que ...?

Chaurien · February 2018

C'est une bonne idée et on en a plusieurs fois parlé sur ce forum. Mais cette construction met en lumière l'euclidianité de l'anneau $\mathbb{Z} [i\sqrt{2}]$ et non celle de $ \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$.
Pour cette dernière, il me semble que le mieux est d'appliquer l'idée de Poirot et de chercher un élément de $ \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ le plus proche possible d'un $ a + b\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ donné. Les entiers $x$ et $y$ les plus proches respectivement des rationnels $a$ et $b$ me semblent de bons candidats.
Bonne journée.
Fr. Ch.

killersmile38 · February 2018

@Chaurien: exact ! Mea culpa...

eoghan · February 2018

Bonjour
Merci pour votre aide, j'ai finalement réussi à démontrer que $\mathbb{Z} [\sqrt{2}] = \left\{ a + b\sqrt{2} \mid a,\, b \in \mathbb{Z} \right\}$ est euclidien.

Mais ma preuve repose sur un lemme qui me pose problème :
Lemme: Soit $\alpha \in \mathbb{Q}$, alors il existe $\alpha_0 \in \mathbb{Z}$ tq $ | \alpha - \alpha_0 | \leqslant \dfrac{1}{2}$.

J'ai esquissé une preuve :
Soit $\alpha \in \mathbb{Q}$, on pose $\alpha = \dfrac{a}{b},$ avec $(a, \, b) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{N^*}$.
Soit $q, \, r \in \mathbb{Z^2}$ tq $ a = bq + r $ avec $ 0 \leqslant r \leqslant b - 1$.
Alors, on a : $\dfrac{a}{b} - q = \dfrac{r}{b},$ avec $0 \leqslant \dfrac{r}{b} \leqslant 1 - \dfrac{1}{b}$.
Si $ \dfrac{r}{b} \leqslant \dfrac{1}{2}$ alors $\alpha_0 = q$ convient.
Sinon... et c'est là que ça se coince. Dans les exemples que j'ai fait, il me suffisait de soustraire $1$ pour aboutir au résultat. Mais ici, j'obtiens seulement : $-1 \leqslant \dfrac{r}{b} - 1 \leqslant - \dfrac{1}{b}$, et je ne peux pas conclure.
Si quelqu'un a une piste...
Merci d'avance.

MrJ · February 2018

Il suffit de faire de dessiner un axe.

Si tu préfère une preuve formelle:
Si $\alpha \in\mathbb{Q}$, tu peux considérer les entiers $a=E(\alpha)$ et $b=a+1$.
Raisonne par l'absurde et suppose que l'on a $|a-\alpha|>1/2$ et $|b-\alpha|>1/2$ et essaye d'aboutir à une contradiction.

GaBuZoMeu · February 2018

Ça serait peut-être plus simple si tu montrais le lemme carrément pour tout $\alpha \in \R$. Rappel : pour tout $\alpha\in \R$ il existe un unique entier $n\in \Z$ tel que $n\leq \alpha < n+1$.

eoghan · February 2018

Merci pour vos conseils, j'y suis parvenu.

Chaurien · February 2018

Sur un dessin on voit bien que pour tout réel $x$ il y a un entier $m$ dont la distance à $x$ est $ \le \frac 12$.
Il n'est pas très difficile de prouver que pour tout $x \in \mathbb R$ il existe $m \in \mathbb Z$ tel que : $|x-m| \le \frac 12$, sans recourir à ce Rrredoutable Raisonnement Par l'Absurde dont on ne sait même pas si c'en est vraiment un.
Première idée : on prend $n=\left\lfloor {x}\right\rfloor $, et l'on distingue les deux cas : $n \le x < n+ \frac 12$, et l'autre.
Plus malin, on peut poser tout de suite $m=\left\lfloor {x+ \frac 12}\right\rfloor $.
Dans cet énoncé, on ne peut remplacer $\frac 12$ par un nombre plus petit.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Chaurien · February 2018

Et autre remarque.
Classiquement, si $z= x+ y \sqrt {2}$, $x \in \mathbb Z$, $y \in \mathbb Z$, on pose : $\sigma (z)= x- y \sqrt {2}$ (conjugué), et $N(z)= z \sigma (z)= x^2- 2 y^2$, sans valeur absolue.
Si l'on s'intéresse à la valeur absolue de $N(z)$, eh bien on l'écrit : $|N(z)|$, voilà tout.

Anneau euclidien

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