Anneau euclidien
Bonjour,
J'essaye de montrer que l'anneau $\mathbb{Z} [\sqrt{2}] = \left\{ a + b\sqrt{2} \, | \, a,\, b \in \mathbb{Z} \right\}$ est euclidien.
Pour cela, j'ai introduit la norme :$ \begin{array}{lrcl}
N : & \mathbb{Z}[\sqrt{2}] & \longrightarrow & \mathbb{N} \\
& x = a + b\sqrt{2} & \longmapsto & |a^2 - 2b^2| \end{array}$
J'ai démontré la première condition : soit $a \, , b \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]^*$ tq $a|b$ alors $ b = ak \Rightarrow N(b) = N(a)N(k)$.
Comme $b \ne 0$, il vient que $k \ne 0$ et donc $ N(k) \geqslant 1 $, d'où $ N(a) \leqslant N(b) $.
Après viens la seconde condition : soit $ a \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ et $ b\in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]^* $, on cherche $q \, , r \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ tq $ a = bq + r$ avec $ r = 0$ ou $N(r) < N(b)$.
C'est là que ça coince...
J'ai essayé de m'inspirer de la preuve pour $\mathbb{Z} [\text{i}]$ (*), mais je n'y arrive pas. En fait, je ne comprends pas d'où découle l'existence de $u_0$ et $v_0$.
Si quelqu'un a une piste...
Merci d'avance.
(*) Disponible ici : http://www.vinc17.org/math/entgauss.pdf (paragraphe c)
J'essaye de montrer que l'anneau $\mathbb{Z} [\sqrt{2}] = \left\{ a + b\sqrt{2} \, | \, a,\, b \in \mathbb{Z} \right\}$ est euclidien.
Pour cela, j'ai introduit la norme :$ \begin{array}{lrcl}
N : & \mathbb{Z}[\sqrt{2}] & \longrightarrow & \mathbb{N} \\
& x = a + b\sqrt{2} & \longmapsto & |a^2 - 2b^2| \end{array}$
J'ai démontré la première condition : soit $a \, , b \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]^*$ tq $a|b$ alors $ b = ak \Rightarrow N(b) = N(a)N(k)$.
Comme $b \ne 0$, il vient que $k \ne 0$ et donc $ N(k) \geqslant 1 $, d'où $ N(a) \leqslant N(b) $.
Après viens la seconde condition : soit $ a \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ et $ b\in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]^* $, on cherche $q \, , r \in \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ tq $ a = bq + r$ avec $ r = 0$ ou $N(r) < N(b)$.
C'est là que ça coince...
J'ai essayé de m'inspirer de la preuve pour $\mathbb{Z} [\text{i}]$ (*), mais je n'y arrive pas. En fait, je ne comprends pas d'où découle l'existence de $u_0$ et $v_0$.
Si quelqu'un a une piste...
Merci d'avance.
(*) Disponible ici : http://www.vinc17.org/math/entgauss.pdf (paragraphe c)
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Réponses
A partir de là, quand on n'est pas inspiré, on contemple le réseau, et on s'aperçoit que tout point de $\mathbb{R}^2$, et donc en particulier tout point $(u,v\sqrt{2})$, $u,v\in\mathbb{Q}$ est coincé à l'intérieur (au sens large) d'un rectangle de côtés $1$ et $\sqrt{2}$. On cherche donc à estimer la distance entre un point intérieur au rectangle au(x) sommet(s) le plus proche. Géométriquement, on sait bien que la dite distance est plus petite que ...?
Pour cette dernière, il me semble que le mieux est d'appliquer l'idée de Poirot et de chercher un élément de $ \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$ le plus proche possible d'un $ a + b\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ donné. Les entiers $x$ et $y$ les plus proches respectivement des rationnels $a$ et $b$ me semblent de bons candidats.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Merci pour votre aide, j'ai finalement réussi à démontrer que $\mathbb{Z} [\sqrt{2}] = \left\{ a + b\sqrt{2} \mid a,\, b \in \mathbb{Z} \right\}$ est euclidien.
Mais ma preuve repose sur un lemme qui me pose problème :
Lemme: Soit $\alpha \in \mathbb{Q}$, alors il existe $\alpha_0 \in \mathbb{Z}$ tq $ | \alpha - \alpha_0 | \leqslant \dfrac{1}{2}$.
J'ai esquissé une preuve :
Soit $\alpha \in \mathbb{Q}$, on pose $\alpha = \dfrac{a}{b},$ avec $(a, \, b) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{N^*}$.
Soit $q, \, r \in \mathbb{Z^2}$ tq $ a = bq + r $ avec $ 0 \leqslant r \leqslant b - 1$.
Alors, on a : $\dfrac{a}{b} - q = \dfrac{r}{b},$ avec $0 \leqslant \dfrac{r}{b} \leqslant 1 - \dfrac{1}{b}$.
Si $ \dfrac{r}{b} \leqslant \dfrac{1}{2}$ alors $\alpha_0 = q$ convient.
Sinon... et c'est là que ça se coince. Dans les exemples que j'ai fait, il me suffisait de soustraire $1$ pour aboutir au résultat. Mais ici, j'obtiens seulement : $-1 \leqslant \dfrac{r}{b} - 1 \leqslant - \dfrac{1}{b}$, et je ne peux pas conclure.
Si quelqu'un a une piste...
Merci d'avance.
Si tu préfère une preuve formelle:
Si $\alpha \in\mathbb{Q}$, tu peux considérer les entiers $a=E(\alpha)$ et $b=a+1$.
Raisonne par l'absurde et suppose que l'on a $|a-\alpha|>1/2$ et $|b-\alpha|>1/2$ et essaye d'aboutir à une contradiction.
Il n'est pas très difficile de prouver que pour tout $x \in \mathbb R$ il existe $m \in \mathbb Z$ tel que : $|x-m| \le \frac 12$, sans recourir à ce Rrredoutable Raisonnement Par l'Absurde dont on ne sait même pas si c'en est vraiment un.
Première idée : on prend $n=\left\lfloor {x}\right\rfloor $, et l'on distingue les deux cas : $n \le x < n+ \frac 12$, et l'autre.
Plus malin, on peut poser tout de suite $m=\left\lfloor {x+ \frac 12}\right\rfloor $.
Dans cet énoncé, on ne peut remplacer $\frac 12$ par un nombre plus petit.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Classiquement, si $z= x+ y \sqrt {2}$, $x \in \mathbb Z$, $y \in \mathbb Z$, on pose : $\sigma (z)= x- y \sqrt {2}$ (conjugué), et $N(z)= z \sigma (z)= x^2- 2 y^2$, sans valeur absolue.
Si l'on s'intéresse à la valeur absolue de $N(z)$, eh bien on l'écrit : $|N(z)|$, voilà tout.