Polynômes commutant modulo X^n
dans Algèbre
Je voudrais dire que si deux polynômes de C[X] commutent modulo X^n, alors ce sont soit des puissances de X, soit des polynômes X+constante.
Je ne sais pas comment m'y prendre ; j'ai essayé le cas où P et Q sont de degré 2, le tout modulo X^2, mais je n'aboutit pas ..
Je ne sais pas comment m'y prendre ; j'ai essayé le cas où P et Q sont de degré 2, le tout modulo X^2, mais je n'aboutit pas ..
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Réponses
Considère les polynômes de Tchebychev $T_n$, définis par $\cos(nx)=T_n(\cos(x))$. On a $T_n \circ T_m(\cos(x)) = T_n(\cos(mx)) = \cos(nmx) = T_{nm}(\cos(x)$. Donc $T_n \circ T_m = T_{nm} = T_m \circ T_n$. Ainsi $T_n$ et $T_m$ commutent modulo tout ce que tu veux, vu qu'ils commutent tout court, mais ne sont pas de la forme que tu souhaites.
VK
Mais le problème est alors encore plus intéressant ! Est-ce que l'on peut caractériser des polynômes de C[X] qui commutent (éventuellement modulo X^n) ?
Ou, pour voir les choses autrement, est-ce vous avez d'autres exemples de polynômes qui commutent ?
Il y a un résultat qui dit que si deux polynômes commutent ils sont linéairement conjugués aux monômes OU aux polynômes de Tchebychev
mais il ya peut être des hypothèses à préciser.
lolo
VK
VK
En effet grace a mon copain google j'ai
trouvé:
Block H. D. and H. P. Thielman, Commutative Polynomials,
Quart. J. Math. Oxford, 2 (1951), 241-243
a+
eric
En tous cas merci à tous j'apprends bien plus avec vous qu'en cours !! ;-)
Amicalement.
Si tu es sur Paris il est disponible à Gibert, j'en suis sûr.
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=313679&t=313679>
où l'on trouve un exo en pdf sur le sujet.
@+