Polynômes orthogonaux, généralités
Bonsoir.
Je travaille à fabriquer un énoncé pour Math. Spé., à propos de généralités sur les polynômes orthogonaux.
$ \bullet $ Soit $a\in \overline{\mathbb{R}}$, $b\in \overline{\mathbb{R}}$, $a<b$. Soit une fonction $\varpi $ continue et strictement positive sur $]a,b[$, telle que pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'intégrale $\int_{a}^{b}t^{n}\varpi (t)dt$ soit convergente (fonction « poids » ).
$ \bullet $ Alors $(P\mid Q)=\int_{a}^{b}P(t)Q(t)\varpi (t)dt$ définit un produit scalaire sur le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$.
$\bullet $ Il existe une base $(E_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ unique de $\mathbb{R}[X]$, orthogonale pour ce produit scalaire, constituée de polynômes normalisés, et tels que $\deg E_{n}=n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
$\bullet $ On a, pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ : $E_{n+1}(X)-(X-a_{n})E_{n}(X)+b_{n}E_{n-1}(X)=0$, avec : $a_{n}=\frac{(XE_{n}\mid E_{n})}{\left\Vert E_{n}\right\Vert ^{2}}$, $b_{n}=\frac{%
\left\Vert E_{n}\right\Vert ^{2}}{\left\Vert E_{n-1}\right\Vert ^{2}}$.
$\bullet $ Si $b>0$, si $a=-b$ et si la fonction $\varpi $ est paire, alors le polynôme $E_{n}$ a la parité de $n$, et $a_{n}=0$.
$\bullet $ Pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, le polynôme $E_{n}$ admet $n$ zéros réels distincts $(\xi _{n,i})_{1\leq i\leq n}$, éléments de $]a,b[$, avec : $\xi _{n,1}<\xi _{n,2}<...<\xi _{n,n-1}<\xi _{n,n}$.
$\bullet $ Pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, les zéros du polynôme $E_{n}$ et ceux de $E_{n+1}$ sont « enchevêtrés » ou « entrelacés », au sens où :
$~~~~~~~~~~~\xi _{n+1,1}<\xi _{n,1}<\xi _{n+1,2}<\xi _{n,2}<...<\xi _{n,n-1}<\xi_{n+1,n}<\xi _{n,n}<\xi _{n+1,n+1}$.
Je trouve ces résultats très beaux, à partir d'une hypothèse somme toute réduite et générale. Ils se prouvent avec des manipulations assez simples, sans gros théorème. Mais déjà pour l'avant-dernière propriété, il faut avoir la bonne idée, moi je ne l'ai pas eue tout seul.
Et c'est surtout la dernière qui motive ce message. J'ai trouvé une démonstration dans la notice Wikipedia et une autre dans : Freud, Orthogonal Polynomials, mais aucune ne m'a satisfait, alors j'en ai bricolé une, et je voudrais savoir si vous avez des sources pour cette question.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Je travaille à fabriquer un énoncé pour Math. Spé., à propos de généralités sur les polynômes orthogonaux.
$ \bullet $ Soit $a\in \overline{\mathbb{R}}$, $b\in \overline{\mathbb{R}}$, $a<b$. Soit une fonction $\varpi $ continue et strictement positive sur $]a,b[$, telle que pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'intégrale $\int_{a}^{b}t^{n}\varpi (t)dt$ soit convergente (fonction « poids » ).
$ \bullet $ Alors $(P\mid Q)=\int_{a}^{b}P(t)Q(t)\varpi (t)dt$ définit un produit scalaire sur le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$.
$\bullet $ Il existe une base $(E_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ unique de $\mathbb{R}[X]$, orthogonale pour ce produit scalaire, constituée de polynômes normalisés, et tels que $\deg E_{n}=n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
$\bullet $ On a, pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ : $E_{n+1}(X)-(X-a_{n})E_{n}(X)+b_{n}E_{n-1}(X)=0$, avec : $a_{n}=\frac{(XE_{n}\mid E_{n})}{\left\Vert E_{n}\right\Vert ^{2}}$, $b_{n}=\frac{%
\left\Vert E_{n}\right\Vert ^{2}}{\left\Vert E_{n-1}\right\Vert ^{2}}$.
$\bullet $ Si $b>0$, si $a=-b$ et si la fonction $\varpi $ est paire, alors le polynôme $E_{n}$ a la parité de $n$, et $a_{n}=0$.
$\bullet $ Pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, le polynôme $E_{n}$ admet $n$ zéros réels distincts $(\xi _{n,i})_{1\leq i\leq n}$, éléments de $]a,b[$, avec : $\xi _{n,1}<\xi _{n,2}<...<\xi _{n,n-1}<\xi _{n,n}$.
$\bullet $ Pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, les zéros du polynôme $E_{n}$ et ceux de $E_{n+1}$ sont « enchevêtrés » ou « entrelacés », au sens où :
$~~~~~~~~~~~\xi _{n+1,1}<\xi _{n,1}<\xi _{n+1,2}<\xi _{n,2}<...<\xi _{n,n-1}<\xi_{n+1,n}<\xi _{n,n}<\xi _{n+1,n+1}$.
Je trouve ces résultats très beaux, à partir d'une hypothèse somme toute réduite et générale. Ils se prouvent avec des manipulations assez simples, sans gros théorème. Mais déjà pour l'avant-dernière propriété, il faut avoir la bonne idée, moi je ne l'ai pas eue tout seul.
Et c'est surtout la dernière qui motive ce message. J'ai trouvé une démonstration dans la notice Wikipedia et une autre dans : Freud, Orthogonal Polynomials, mais aucune ne m'a satisfait, alors j'en ai bricolé une, et je voudrais savoir si vous avez des sources pour cette question.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Réponses
-
C'est sympa, je veux bien voir le résultat final .
As-tu regardé dans "Interpolation et approximation", de Jean-Etienne Rombaldi ? je crois que c'est dedans.
Pour info: On voit souvent l'hypothèse $\omega>0$ mais le premier point est encore vrai si la fonction poids est simplement supposée positive et non nulle en un point (ce qui est somme toute raisonnable).
(Si $\omega$ est non nulle en un point, elle est nulle sur un petit intervalle contenant ce point. Un polynôme $P$ vérifiant $(P\mid P)=0$ est alors nul sur cet intervalle, donc possède une infinité de $0$, donc $P=0$.) -
Bonjour.
Notations: je n'aime pas les tours d'indices car le truc le plus utile devient alors quasiment illisible. Je suppose que les polynômes sont unitaires et je note $Pn(x)= P_n(x), PPn(x)=P_{n+1}(x), PMn(x)=P_{n-1}(x)$ (PP comme P plus, PM comme P moins).
On sait qu'il y a une formule à trois termes $PPn(x)=(x-an)*Pn(x)+bn*PMn(x)$ avec $$
{\it an}=-{\frac {{\it qs} \left( x{{\it Pn}}^{2} \right) }{{\it qs} \left( {{\it Pn}}^{2} \right) }} \;;\;
{\it bn}=-{\frac {{\it qs} \left( {{\it Pn}}^{2} \right) }{{\it qs} \left( {{\it PMn}}^{2} \right) }}
$$
On considère le polynôme $Qn$ à racines simples formé à partir des racines de $Pn$ qui sont réelles, d'ordre impair et dans le support de la fonction poids. Alors $qs(Pn*Qn)$ est l'intégrale d'une fonction positive continue non identiquement nulle. Sa valeur est donc non nulle. Ceci impose que le degré de $Qn$ soit $n$.
On numérote les racines depuis le haut. Pour celles de $Pn$ on a :
$$+\infty>x[n;1]>x[n;2]>\cdots>x[n;n]>-\infty$$ On suppose que les $n$ racines de $Pn$ et les $n-1$ racines de $PMn$ sont enchevêtrées. Chacun des intervalles ci-dessus, sauf ceux aux deux bouts, contient donc une racine de $PMn$. Et ceci impose que les signes des $PMn(x[n,k])$ alternent à partir de $PMn(x[n,1])$ dont le signe est $+1$ (polynôme unitaire).
On a donc $PPn(+\infty)>0$ ; $PPn(x[n,1])=bn*PMn(x[n,1]) <0$ à cause du signe de $bn$ ; Puis les signes des $PPn(x[n,k])$ alternent. Et enfin, il y a un dernier changement de signe pour $PPn(-\infty)$, à cause du degré. A cause de tous ces changements de signes, il y a une racine de $PPn$ par intervalle. La propriété étudiée est donc héréditaire. Il ne reste plus qu'à balancer ce qu'il faut d'encens et de banalités convenues pour obtenir une récurrence canonisée.
Cordialement, Pierre. -
Merci pour vos réponses. C'est à peu près ce que j'avais fait.
L'avant-dernière propriété est la plus difficile car il faut penser à regarder les zéros d'ordres impairs et situés dans l'intervalle. Moi je n'y aurais pas pensé tout seul.
La dernière, qui me semblait plus compliquée, se traite par une simple récurrence. Elle est un corollaire du fait que, dans la relation : $E_{n+1}(X)-(X-a_{n})E_{n}(X)+b_{n}E_{n-1}(X)=0$, le coefficient $b_n$ est strictement positif. On l'évalue en les zéros de $E_n$, et c'est affaire de rédaction. Elle se révèle en fait plus simple que l'avant-dernière.
Mais je reste quand même admiratif devant toutes ces propriétés découlant de la simple définition initiale du produit scalaire. Y en aurait-il d'autres ?
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Chaque polynôme orthogonaux est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 (seul le coefficient devant $y$ change en fonction de l’indice du polynôme).
-
@ MrJ
Je sais bien qu'il y a une telle équation différentielle, qu'on établit sans mal pour chacun des cinq principaux types de polynômes orthogonaux classiques : Legendre, Tchebychev I et II, Hermite, Laguerre. Mais comment l'établir en toute généralité à partir de la seule hypothèse initiale que j'ai posée dans ma question du début ?
Bonne journée.
Fr. Ch. -
En fait, j'étais persuadé que cela marchait pour toutes les familles de polynômes orthogonaux, mais il semblerait que cela ne soit pas le cas d'après ce que je lis sur différentes ressources.
Sinon, une jolie application des polynômes orthogonaux est la formule d'approximation de Gauss. Si on note $\xi_1,\ldots,\xi_n$ les racines de $E_n$, alors il existe $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n$ tel que
$$\forall P\in\mathbb{R}_{2n-1}[X],\quad \int_a^b P(t) \varpi(t) dt = \sum_{k=1}^n \lambda_k P(\xi_k).$$
Les coefficients $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}^{n-1}$ sont définis de manière unique en imposant la relation pour les polynômes $P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]$. On vérifie avec les propriétés d'orthogonalités qu'elles restent vrai pour tout polynôme $P\in\mathbb{R}_{2n-1}[X]$. Par contre, elle n'est pas vrai pour $E_n^2$ par exemple. -
Bonjour,
concernant les zéros des Legendre, il y a un chouette résultat sur leur répartition. Je me suis déjà demandé si ça pouvait se généraliser aux autres orthogonaux. Et puis j'ai fait autre chose.
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Bonjour!
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