Bijection d'un groupe dans un ensemble
Bonjour,
On a une bijection $f$ d'un groupe $(g,+)$ dans un ensemble $h$.
Si on muni $h$ d'une loi $*$ définie par : Pour tous éléments $x$ et $y$ de $h$ on a $x*y=f^{-1}(x)+f^{-1}(y)$, est ce qu'on a le droit de dire que $(h,*)$ est un groupe sans le vérifier ?
Pouvez-vous m'indiquer le nom de ce théorème ?
Merci.
On a une bijection $f$ d'un groupe $(g,+)$ dans un ensemble $h$.
Si on muni $h$ d'une loi $*$ définie par : Pour tous éléments $x$ et $y$ de $h$ on a $x*y=f^{-1}(x)+f^{-1}(y)$, est ce qu'on a le droit de dire que $(h,*)$ est un groupe sans le vérifier ?
Pouvez-vous m'indiquer le nom de ce théorème ?
Merci.
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Réponses
Oui, cela s'appelle le transport de structure par la bijection $f$. Tu munis ainsi l'ensemble $h$ d'une structure de groupe telle que $f$ est un isomorphisme entre $g$ et $h$.
Alain
Note que la formule est en réalité : $x*y=f\big(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)\big)$.
Alain
Oui c'est exact. $f$ isomorphisme ssi $f^{-1}(x*y)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y)$ ssi $x*y=f(f^{-1}(x)+f^{-1}(y))$
On considère une bijection $f$ d'un groupe $(g,*)$ dans un groupe $(h,\circ)$, tel que pour tous éléments $x$ et $y$ de $g$ on a $$f(x*y)=f(y)\circ f(x).
$$ Est-ce que $f$ est appelé aussi isomorphisme de groupes ($g$ et $h$ ne sont pas abéliens) ?
Merci.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte autour du sujet. AD]
Ben oui.
Désolée, mais moi je n'appellerais pas ça un isomorphisme! Je crois qu'on peut parler d'antiisomorphisme, (par exemple la transposition dans un groupe de matrices inversibles).
(EDIT: MrJ a été plus rapide)