Extension de corps

Tu dois avoir un cours là-dessus.

Il faut considérer le corps de rupture de $P$.
Formellement il s’agit de $K=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[X]/(P)$.

Il faut que tu factorise ton polynôme dans $K$.

@moduloP : encore faut-il justifier qu'il s'agit bien d'un corps ;-)

Utiliser $\Z/3\Z[\mathrm{i}]$ pour factoriser $X^2-X-1$, c'est un peu comme utiliser $\R[\mathrm{j}]$ (où $\mathrm{j}^2+\mathrm{j}+1=0$) pour factoriser $X^2+1$ : c'est possible mais bien maladroit ! Le plus naturel, c'est d'utiliser $\Z/3\Z[a]$ avec $a^2-a-1=0$... c'est-à-dire $\Z/3\Z[X]/(X^2-X-1)$ comme le propose MrJ (et alors $a$ est la classe de $X$). Mais comme le dit Poirot plus bas à propos de $\Z/3\Z[\mathrm{i}]$, il faut montrer que cela donne un corps.

A posteriori, on sait qu'il existe un seul corps de cardinal $9$ donc les deux méthodes vont conduire à construire le même corps. L'expression $a=\mathrm{i}+1$ donne une façon de construire un isomorphisme.

Edit : remplacement de $i$ par $\mathrm{i}$ pour éviter « crochet i crochet » qui est interprété par php avant d'être envoyé dans le navigateur.

Bonjour,

On peut aussi utiliser une matrice compagnon pour réaliser l'extension.
Là aussi, il faudra prouver que \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}[A]\), avec : \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\), est un corps.

eoghan a écrit:

[…] une extension $K$ de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} [X]$ avec $9$ éléments […]

Une extension finie de \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}[X]\), c'est un peu raide à dénicher.

Dans toutes les constructions que vous donnez (sauf celle où on adjoint un $a$ sans dire qui c'est), la preuve qu'on obtient un corps est facile avec des théorèmes généraux

@Chaurien : ton morphisme $\sigma$ c'est le morphisme de Frobenius $z \mapsto z^3$. Par suite, $N(z) = z^4$ et en particulier $z \in k^\star$ est d'ordre $8$ dans $k^\star$ si et seulement si $N(z) = -1$. Bref, mon $i$ n'engendre pas les inversibles de $k$ et ton $i$ l'engendre.

@Poirot: tu as raison, je vais essayer d'y remédier avec des exercices intermédiaires :

Pour la preuve en quotientant par $(P)$ :
1) Soit $A$ un anneau commutatif principal. Montrer qu'un élément $p\in A$ est premier si et seulement s'il est irréductible, si et seulement si $(p)$ (l'idéal engendré) est un idéal maximal.
2) Soit $A$ un anneau commutatif, et $m$ un idéal de $A$. Montrer que $m$ est maximal si et seulement si $A/m$ est un corps.
3) Soit $k$ un corps et $P\in k[X]$ un polynôme non linéaire (merci b.b. pour la correction ) de degré $\leq 3$. Montrer que $P$ est irréductible si et seulement si il n'a pas de racine.
4) Pour $P=X^2-X-1$ dans $\mathbb{F}_3[X]$, montrer que $\mathbb{F}_3[X]/(P)$ est un corps, et que la classe de $X$ modulo $(P)$, notée $\alpha$, vérifie $\alpha^2 - \alpha - 1 = 0$.

Pour la preuve avec la matrice compagnon de $P$:
1) Soit $k$ un corps et $M$ une matrice carrée de taille $n$ à coefficients dans $k$. Montrer que $M$ est inversible si et seulement s'il existe un polynôme $P$ annulant $M$ vérifiant $P(0) \neq 0$.
2) Soit $P$ un polynôme irréductible sur $k$ et $Q$ non divisible par $P$. Montrer qu'il existe $U,V$ tels que $PU+QV=1$.
3) Montrer que si $k$ est un corps, $P$ un polynôme irréductible et $M$ une matrice annulée par $P$, alors $k[M]$ est un corps.
4) Montrer que $\mathbb{F}_3[A]$ ($A$ la matrice indiquée par gb) est un corps, et que dedans, $A$ vérifie $A^2 - A - 1 = 0$

EDIT: la preuve de moduloP en passant par $\mathbb{Z}[ i ]$ peut se faire en passant par la premier exercice, en montrant que $3$ est irréductible dans cet anneau, et que cet anneau est euclidien donc principal; il faut ensuite remarquer que $\mathbb{F}_3$ se plonge dans le quotient

@ Maximax
Pour la construction par quotient, d'accord, c'est en grande partie du cours, dans les secteurs d'enseignement où l'on voit ces notions, L3 je pense.
Mais pour la construction avec matrice, tout ça est largement superflu. Je répète, regarde comme on construit $\mathbb C$ avec des matrices, c'est pareil, sans toutes ces considérations sur les polynômes. Voir plutôt ce que j'ai dit sur conjugué et norme en remplaçant $i$ par $A$.

b.b. : effectivement :-D

Chaurien: Oui mais pour un polynôme de degré supérieur ? Ce que tu fais avec le conjugué revient très certainement au même, mais de manière déguisée parce qu'on connaît bien le polynôme $X^2 +1$, et ce que je propose généralise la question (je parlais bien de "théorèmes généraux" :-D

moduloP: Comment tu prouves cet isomorphisme ? Je ne suis pas sûr que le théorème d'isomorphisme que tu emploies ici (j'ai oublié les numéros, c'est le deuxième ou le troisième ?) soit plus simple que ce que je propose. Enfin je me trompe peut-être.
Et pour ensuite prouver que $\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)$ est bien un corps, tu vas de toute façon devoir prouver qu'un élément irréductible engendre un idéal maximal, et si je ne me trompe pas ce n'est pas vrai dans un anneau non principal.