Questions sur les algèbres

senpai
senpai
dans Algèbre
Bonsoir, j'aurais quelques questions assez basiques sur les algèbres en général, si vous pouviez m'aider:

1- Quel est l'application bilinéaire utilisée pour munir $K_n[X]$ d'une structure d'algèbre ? Car $K_n[X]$ n'est pas stable par le produit classique de deux polynômes.

2- Lorsque l'on parle de l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ quelle est le produit interne (composition ou multiplication) utilisé et est-ce-que l'on peut munir en général l'ensemble des applications linéaires d'un ev $E$ dans un autre ev $F$ d'une structure d'algèbre ?

3- Même question que pour 2- mais concernant des espaces de fonctions continues d'un evn $E$ dans un autre evn $F$.

Merci !

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    1. J'ai beaucoup manipulé \(K_n[X]\) en tant que \(K\)-espce vectoriel, mais jamais en tant que \(K\)-algèbre.

    2. L'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel est l'espce vectoriel \(L(E)\) muni de l'application bilinéaire \((u,v)\mapsto u\circ v\).
    L'espace vectoriel \(L(E,F)\) se munit très mal d'une structure d'algèbre lorsque \(E\) et \(F\) sont distincts.

    3. Si \(F\) est muni d'une structure d'algèbre, alors on munit l'espace vectoriel \(C(E,F)\) de la structure d'algèbre défini par la multiplication ponctuelle des fonctions, i. e., si \(m\) est la multiplication de \(F\), la multiplication \(\tilde m\) de \(C(E,F)\) où, pour tout élément \(x\) de \(E\), \(\tilde m(f,g)\) est la fonction continue \(x\mapsto m\bigl(f(x),g(x)\bigr)\).
  • senpai
    senpai
    D'accord merci, je pose la question pour le point 1- car dans un bouquin il y avait un exercice dont le but était de montrer l'existence de normes sous-multiplicatives sur des $K$-algèbre de dimension finie et un des exemples donnés était celui de $K_n[X]$ justement, ce qui me sert dans un autre exercice.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une façon facile d'avoir une structure d'algèbre sur $K_n[X]$ est de l'identifier à $K[X]/(P)$ où $P$ est n'importe quel polynôme de degré $n+1$.
  • Vincent
    Vincent
    Pour compléter la réponse de GaBuZoMeu, le produit de $Q$ et $R$ dans $K_n[X]$ est alors le reste de la division euclidienne de $QR$ par $P$, c'est un peu pénible de montrer que ce produit est associatif... c'est beaucoup plus simple lorsqu'on le fait dans $K[X]/(P)$.
  • senpai
    senpai
    Ok merci cela répond à mes questions !
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