Il suffit de prouver que \(\mathrm{Ker}(I_m-AB)\) et \(\mathrm{Ker}(I_n-BA)\) ont la même dimension; pour ce faire, il suffit d'exhiber un isomorphisme entre ces deux noyaux…
Il me semble qu'obtenir, vu la définition des noyaux, les égalités \(f\circ g=\mathrm{id}_{\mathrm{Ker}(I_m-AB)}\) et \(g\circ f=\mathrm{id}_{\mathrm{Ker}(I_n-BA)}\) est assez immédiat, d'autant plus que l'on n'a pas beaucoup d'applications linéaires à notre disposition pour construire ces isomorphismes.
L'application k est injective de F dans G on est en dimension fini donc k est bijective.
Oh que c'est très faux comme théorème :-)
L'application de $\R\to \R^2$ qui à $x$ associe $(x,0)$ est linéaire, injective, d'un espace de dimension finie vers un espace de dimension finie, mais n'est évidemment pas bijective.
Il manque une hypothèse, qui manque de bol est justement ce que tu dois prouver. On t'a indiqué un bon moyen de prouver qu'on a une bijection dans ce fil.
Le plus simple ici c'est de suivre les indications de gb. Si tu trouves deux applications $f$ et $g$ telles que $f\circ g = id_F$ et $g\circ f = id_G$, alors tu auras une bijection.
Si tu as besoin de moi pour savoir si c'est juste c'est que tu ne fais pas de mathématiques mais des devinettes :-)
Mais oui ça m'a l'air juste.
Au fait, tu peux expliciter la réciproque de $k$ ? (je n'ai pas dit que c'était nécessaire de le faire, tu as bien prouvé qu'il existait un isomorphisme sauf erreur de ma part)
Réponses
Il suffit de prouver que \(\mathrm{Ker}(I_m-AB)\) et \(\mathrm{Ker}(I_n-BA)\) ont la même dimension; pour ce faire, il suffit d'exhiber un isomorphisme entre ces deux noyaux…
O
Je sais que pour une matrice rectangulaire il y a un inverse à droite ,
un inverse à gauche.
Est-ce que l’application $ t\mapsto Bt$ de $F$ dans $G$ ?
Merci gb pour ta réponse.
Mais dans tous les cas $t$ n'est clairement pas dans $\R^m$, on n'a jamais parlé d'isomorphisme de $\R^m$ ici.
Si Bt=By avec t,y dans F alors ABy=y, ABt=t
donc en multipliant à gauche par A dans Bt=By on a
ABt=ABy d'où t=y
L'application k est injective de F dans G on est
en dimension fini donc k est bijective.
Est-ce que c'est correct? Merci
L'application de $\R\to \R^2$ qui à $x$ associe $(x,0)$ est linéaire, injective, d'un espace de dimension finie vers un espace de dimension finie, mais n'est évidemment pas bijective.
Il manque une hypothèse, qui manque de bol est justement ce que tu dois prouver. On t'a indiqué un bon moyen de prouver qu'on a une bijection dans ce fil.
Merci pour le temps que tu perds à corriger mes bêtises.
Tu étais bien parti d'ailleurs.
Comme ABw=ABAy=Ay=w on a w est dans F
Ce qui montre que y=k(w) , k est surjective.
Skyffer est ce que j'ai bien prouvé que k est surjective?
Mais oui ça m'a l'air juste.
Au fait, tu peux expliciter la réciproque de $k$ ? (je n'ai pas dit que c'était nécessaire de le faire, tu as bien prouvé qu'il existait un isomorphisme sauf erreur de ma part)
à la boulangerie.
Pour la réciproque de k je regarderai plus tard.