Question bête sur matrices équivalentes

Zimbabou
Zimbabou
dans Algèbre
Là j'ai eu un court circuit neuronal je n'arrive plus à raisonner sur ce schéma ... :

rg(A)=r ssi A est équivalente à Jr.

(1) Donc si on part d'une appli. linéaire de E dans F (dim p et n respectivement) de rang r et qu'on lui associe canoniquement A en matrice (type nxp) , on peut via un changement de bases adéquat (matrices équivalentes) transformer Mat(u) en Jr ?? Donc tous les appli linéaires de rang r ont le même gueule Jr dans une base correcte ?

(2) Bon je vous dis même pas si je passe aux endomorphismes j'en arrive à la réduction de chaque matrice à Jr ....

merci de m'éclairer si vous en avez le temps

belle soirée :)

Réponses

  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Il n'y a pas de question bête, il n'y a que des matrices équivalentes.

    Les bases qui rendent M équivalente à Jr ne sont pas forcément les mêmes que celles qui rendent N équivalentes à Jr, si telle est ta question.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    (1) En fait j'étais étonné de remarquer que TOUTE application linéaire u € L(E;F) pouvait, via une base correcte dans E et une base correcte dans F s'écrire sous la forme Jr (plus les zéros) (si vous pouvez confirmer d'ailleurs ...)
    Ensuite je me suis dit que TOUTE application linéaire pouvait donc être représentée par une matrice super simple ... et j'ai donc pensé à : pourquoi réduit-on les endomorphismes dans ce cas ?

    (2) C'est que pour un endomorphisme quand on définit une matrice le représentant la base de départ et d'arrivée est la même et donc ce que j'ai écrit au (1) n'est plus valable ... d'où la complexification des matrices représentant des endomorphismes : est-ce bien cela ?

    J'en ai conclu que
    > pour une appli linéaire (de rang r) on peut tjrs toujours se débrouiller pour trouver une matrice simple la représentant (Jr et ses 0 donc ...)
    > pour un endomorphisme, on ne peut plus, d'où les chapitres pour réduire les endomorphismes

    Est-ce que je raisonne correctement ? Merci ;)
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    En gros c'est ça. Si tu t'autorise à prendre une base différente à l'arrivée et au départ, c'est bien plus facile de simplifier les choses.
  • bisam
    bisam
    Tu as bien compris.
    La raison pour laquelle on cherche à avoir la même base au départ et à l'arrivée pour les endomorphismes, c'est que l'on peut les composer... et que la matrice de la composée sera dans ce cas le produit des matrices.
    C'est cela qui permettra de calculer facilement les puissances de matrices ou d'endomorphismes une fois réduits, par exemple.
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