Noyau d'une forme bilinéaire

daniel.fr a écrit:

Kerf est censé être un s e v de l'ensemble de départ!

Je n'ai jamais entendu parler de cette contrainte.

Une forme bilinéaire sur \(E\times F\), c'est à la fois:
— une application linéaire \(f_g\) de \(E\) dans \(F^*\) : \(\forall x\in E\quad f_g(x) : y \mapsto f(x,y)\) ;
— une application linéaire \(f_d\) de \(F\) dans \(E^*\) : \(\forall y\in F\quad f_d(y) : y \mapsto f(x,y)\).

Chacune de ces applications linéaires a un noyau ; pour la forme bilinéaire \(f\), \(\mathrm{Ker} \,f_g\) est le noyau à gauche et \(\mathrm{Ker} \,f_d\) est le noyau à droite.

Lorsque \(E=F\) et que la forme \(f\) est symétrique, lea noyaux à gauche et à droite sont égaux, et on parle du noyau (sans plus de précision) de la forme.

Vu que l'expression matricielle de la forme bilinéaire symétrique est
$$(X,Y) \longmapsto X^{\mathsf T}\,M \,Y$$
où $M$ est la matrice symétrique de la forme bilinéaire, tu peux sans doute répondre toi-même à ta question sur le noyau (le sous-espace des $X$ tels que, pour tout $Y$, $X^{\mathsf T}\,M \,Y= 0$) .