Centre d'un p-groupe

Ghandiji · February 2018

Bonsoir à tous
Je rencontre quelques difficultés à résoudre ce problème sans utiliser une formule qui est apparemment hors programme prépa maths. J'aimerais savoir s'il existe une preuve n'utilisant pas cette formule pour rester dans le cadre du programme.
Voici l'exercice.

Soit $G$ un groupe multiplicatif de cardinal $p^\alpha$ avec $p \in P$ et $\alpha \in \mathbb{N}$
Montrer que $Z(G) \ne \{1\}$

Pour résoudre cela j'utilise le théorème suivant.

Soit $G$ un groupe fini. Il existe une famille de sous-groupes stricts de $G$, $(H_i)_{i \in I}$ telle que
$\displaystyle \mathrm{Card}(G)=\mathrm{Card}\big(Z(G)\big)+ \sum_{i \in I} \frac{\mathrm{Card}(G)}{\mathrm{Card}(H_i)}$
Ainsi je peux dire que $p\mid \mathrm{Card}(G)$ et que d'après le théorème de Lagrange $\forall i \in I,\ \mathrm{Card}(H_i)\mid \mathrm{Card}(G)$
Et donc $\displaystyle p\mid \sum_{i \in I} \frac{\mathrm{Card}(G)}{\mathrm{Card}(H_i)}$ et que donc $p\mid Z(G),$ donc on a $Z(G)\ge p$

Mais cette formule n'entre pas dans le cadre du programme existe-t-il d'autres moyens de considérer ce problème ?
Merci d'avance.
Ghandi.

Shah d'Ock · February 2018

Tu as cité le théorème de Lagrange, nest-ce pas?

Ghandiji · February 2018

Bonsoir
Oui il me semble que c'est Lagrange si je ne me trompe pas c'est à dire la propriété suivante.

Soit $G$ un groupe fini. L'ordre de tout sous-groupe $H$ de $G$ divise l'ordre de $H$.

Shah d'Ock · February 2018

Je sous-entendais que tu pouvais chercher à utiliser ce théorème pour déduire ce qui t'intéresse.

Poirot · February 2018

Petite précision : il te manque un argument pour passer de $p \mid \mathrm{Card}(Z(G))$ à $\mathrm{Card}(Z(G)) \geq p$ !

Ghandiji · February 2018

Bonjour,

Merci de me le faire remarquer il faut effectivement dire que $Card(Z(G)) \ge 1$ car $1 \in Z(G)$

Georges Abitbol · February 2018

C'est quoi la formule que tu ne veux pas utiliser ?

Math Coss · February 2018

L'équation aux classes, sous la forme $\displaystyle \mathrm{Card}(G)=\mathrm{Card}\big(Z(G)\big)+ \sum_{i \in I} \frac{\mathrm{Card}(G)}{\mathrm{Card}(H_i)}$.

Elle est simple à justifier avec le vocabulaire des actions de groupes :

quand un groupe $G$ agit sur un ensemble $X$, on définit une relation d'équivalence sur $X$ en disant que deux éléments $x$ et $x'$ sont en relation s'il existe $g\in G$ tel que $x'=g\cdot x$ ; les classes d'équivalences sont les orbites et elles constituent une partition de $X$
pour $x$ fixé dans $X$, on a une bijection $G/G_x\to\mathcal{O}_x$ $gG_x\mapsto g\cdot x$, où $\mathcal{O}_x$ est l'orbite de $x$ et $G_x$ son stabilisateur ; de plus, si $G$ est fini, le cardinal de $G/G_x$ est le quotient des cardinaux ;
dans notre cas très précis, on prend $X=G$, l'action se fait par conjugaison ($g\cdot x=gxg^{-1}$), un élément est central SSI son stabilisateur $G_x$ est un sous-groupe strict de $G$ ; en séparant les orbites de cardinal $1$ (correspondant aux éléments de $Z(G)$) et celles dont le stabilisateur $H_i$ est un sous-groupe strict, on obtient l'égalité ci-dessus ;
enfin, la clé : si $G$ est un $p$-groupe, tout quotient de son cardinal par un diviseur propre est un multiple de $p$.

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