Q[cos(2pi / p)] normale sur Q ??

La première partie du message est parfaitement correcte, sauf qu'il n'y a pas de $i$ (faute de frappe, je suppose) : $\Q( \cos (2 \pi / p))$ est le sous-corps réel de $\Q(\zeta_p)$, noté en général $\Q^{+} (\zeta_p)$.

Pour son polynôme minimal, procéder ainsi (je suppose que $p \geq 3$ est premier...) :

Ecrire le polynôme cyclotomique $_Phi_p(X)$ sous la forme : $$\Phi_p(X) = a_{p-1} \left (X^{p-1} + 1 \right ) + a_{p-2} \left (X^{p-2} + X \right ) + ... + a_{(p-1)/2} X^{(p-1)/2}.$$ Alors, le polynôme définissant cette extension est donné par : $$P(X) = 2^{(1-p)/2} \left (a_{(p-1)/2} + \sum_{j=1}^{(p-1)/2} a_{(p-1)/2 + j} T_j(X) \right )$$ où $T_j(X)$ est le $j-$ème polynôme de Tchebytchev.

En compléments, il faut savoir que l'extension $\Q(\zeta_p) / \Q^{+} (\zeta_p)$ s'appelle un {\it corps à multiplication complexe}, et le nombre de classes de $\Q^{+} (\zeta_p)$ divise celui de $\Q(\zeta_p)$...

Borde.

La première partie du message est parfaitement correcte, sauf qu'il n'y a pas de $i$ (faute de frappe, je suppose) : $\Q( \cos (2 \pi / p))$ est le sous-corps réel de $\Q(\zeta_p)$, noté en général $\Q^{+} (\zeta_p)$.\\
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Pour son polynôme minimal, procéder ainsi (je suppose que $p \geq 3$ est premier...) : \\
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Ecrire le polynôme cyclotomique $\Phi_p(X)$ sous la forme : $$\Phi_p(X) = a_{p-1} \left (X^{p-1} + 1 \right ) + a_{p-2} \left (X^{p-2} + X \right ) + ... + a_{(p-1)/2} X^{(p-1)/2}.$$ Alors, le polynôme minimal sur $\Q$ de $\cos (2 \pi / p)$ est donné par : $$P(X) = 2^{(1-p)/2} \left (a_{(p-1)/2} + 2 \sum_{j=1}^{(p-1)/2} a_{(p-1)/2 + j} T_j(X) \right )$$ où $T_j(X)$ est le $j-$ème polynôme de Tchebytchev.\\
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En compléments, il faut savoir que l'extension $\Q(\zeta_p) / \Q^{+} (\zeta_p)$ s'appelle un {\it corps à multiplication complexe}, et le nombre de classes de $\Q^{+} (\zeta_p)$ divise celui de $\Q(\zeta_p)$...\\
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Borde (remplace et anule le post précédent. Merci).

annule...

Pour Fred,

C'est exact, c'était Georges Gras (qui a publié un fameux livre sur la théorie du corps de classes). Si tu veux des renseignements sur ce problème-marathon, n'hésite pas (je me suis aperçu qu'une partie de ce problème est le pendant pour les corps cubiques d'un article écrit par André Jeannin, lui aussi à Besançon, sur les corps quintiques. Je pourrais te donner les références, si cela peut t'aider)...Et oui : ton mémoire m'intéresse...J'aimerais en savoir plus, si cela n'est pas indiscret.

A bientôt,

Borde.

Merci aux modérateurs...

Borde.

[J'en suis quand même venu à bout . Est-ce correct ? AD]

Ah ! le cas cyclotomique. Il est agréable car tout fonctionne parfaitement.

Pour Borde,

pour le mémoire j'ai une "lettre" à étudier, qui parle en gros de la théorie d'iwasawa. Désolé de ne pas être plus explicite mais pour l'instant je nage un peu....

A bientôt

$ \Q(e^{2 i \pi /p}) \cap \R= \Q(\cos(2i\pi / p)) $

$\Q^{+}(\zeta_p) = \Q(\zeta_p + \zeta^{-1}_p) = \Q(\cos(2 \pi / p))$

Ah, au fait, Vianney, pendant que j'y pense...ton petit guide pour LaTeX que tu avais mis en ligne il y a quelques temps : génial, tout simplement !

Salut,

Borde.


[Content qu'il te serve C'est vrai qu'il présente un très bon rapport nombre de pages/utilité ! Vianney]