Bonjour , je veux savoir s'il y a d'autres conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un endomorphisme (ou une matrice) soit diagonalisable, autres que les théorèmes classiques qu'on trouve dans les livres de cours niveaux maths spé.
Les conditions pour qu'un endomorphisme f de E soit diagonalisable :
- E est somme directe des sous espaces propres de f.
- Le polynôme caractéristique de f est scindé et la dimension de chaque sous-espace propre est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre associée.
- Le polynôme minimal est scindé à racines simples.
$M$ est diagonalisable si et seulement si l'application $K[M] \to K^{\text{Hom}_{K-Alg}(K[M],K)}$ donnée par $a \mapsto [ \zeta \mapsto \zeta(a)]$ est un isomorphisme de $K$-algèbre.
Réponses
Une matrice $M$ est diagonalisable si et seulement si l’algèbre $K[M]$ est isomorphe à $K^p$ où $p$ est un entier naturel.
- E est somme directe des sous espaces propres de f.
- Le polynôme caractéristique de f est scindé et la dimension de chaque sous-espace propre est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre associée.
- Le polynôme minimal est scindé à racines simples.
-Un des polynômes annulateurs de $f$ est scindé à racines simples
C'est de toutes, la plus facile à vérifier dans la pratique :-)
$M$ est diagonalisable si et seulement si l'application $K[M] \to K^{\text{Hom}_{K-Alg}(K[M],K)}$ donnée par $a \mapsto [ \zeta \mapsto \zeta(a)]$ est un isomorphisme de $K$-algèbre.
A mince, je n'avais pas vu mais MrJ l'a déjà dit