Produit scalaire et famille de fonctions

Bonjour,
J'essaie de résoudre un exercice sur les produits scalaires, mais j'avoue sécher.

Soit $\psi\ : \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ une forme bilinéaire symétrique définie par \[
\psi(x,y)=\sum_{1\leq i,j\leq n} \phi (f_i,f_j)x_iy_j,
\] où $\phi$ est le produit scalaire canonique pour les fonctions et $(f_1,\dots,f_n)$ est une famille de $n$ fonctions définies sur $[0,1]$ continues et à valeurs dans $\mathbb{R}$.

1-Montrer que $\psi$ est positive
Je sais que je dois montrer que $\psi (x,x)\geq 0,\ \forall x\in\mathbb{R}^n$ donc que $\sum\limits_{1\leq i,j\leq n} \langle f_i,f_j\rangle x_ix_j\geq 0$
Dans le cas où $i=j$ c'est évident, mais pour $i\neq j$ même en essayant de simplifier la somme grâce à la symétrie je ne vois pas comment faire.

2-Montrer que $\psi$ est définie positive si et seulement si $(f_1,\dots,f_n)$ est libre.
Je partais pour faire une double implication en reprenant la définition de "définie positive" mais je bloque toujours à cause du produit scalaire à l'intérieur de la somme.

Merci d'avance pour votre aide.