Système d'équations linéaires
Bonjour à tous,
Je viens tout juste de m'inscrire et j'espère avoir bien compris les règles de l'entre aide, si ce n'était pas le cas merci de m'en informer.
Voici ma problématique, j'essaie de résoudre le problème en PJ, questions 1 et 2 pas de problème a priori.
Pour la question 3, sachant que le déterminant de la matrice A est nul, et qu'il n'y a donc pas une solution unique, j'ai effectué un pivot de Gauss et j'obtiens le système suivant,
$x+y+z=1$
$-2y-3z=-4$
$0=0$
Je sais que le système n'a pas de solution si $rg(A)\ne rg[(A|b)]$.
J'ai trouvé précédemment rg(A)=2 mais comment calculé de le rang de(A|b)?
Est-ce le nombre de lignes indépendantes du système trouvé ci-dessus?
J'ai donc les mêmes problèmes pour répondre à la dernière question.
Merci de votre aide!!!
Charly
Je viens tout juste de m'inscrire et j'espère avoir bien compris les règles de l'entre aide, si ce n'était pas le cas merci de m'en informer.
Voici ma problématique, j'essaie de résoudre le problème en PJ, questions 1 et 2 pas de problème a priori.
Pour la question 3, sachant que le déterminant de la matrice A est nul, et qu'il n'y a donc pas une solution unique, j'ai effectué un pivot de Gauss et j'obtiens le système suivant,
$x+y+z=1$
$-2y-3z=-4$
$0=0$
Je sais que le système n'a pas de solution si $rg(A)\ne rg[(A|b)]$.
J'ai trouvé précédemment rg(A)=2 mais comment calculé de le rang de(A|b)?
Est-ce le nombre de lignes indépendantes du système trouvé ci-dessus?
J'ai donc les mêmes problèmes pour répondre à la dernière question.
Merci de votre aide!!!
Charly
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Réponses
\[(A|b)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-3&-4\\0&0&0&0\end{pmatrix},\]qui est aussi échelonnée que $A$ et donc de rang $2$.
Ici, une fois sous cette forme, on peut travailler à vue : on choisit $z$ librement, on calcule $y$ grâce à la deuxième équation puis $x$ grâce à la première. Chaque choix de $z$ donne lieu à une solution.
Ce qui a compté ici, c'est qu'après application du pivot, la troisième équation est devenue nulle.
J'ai donc une infinité de solutions.
Pour la dernière question j'obtiens $x=\frac{z}{2} + 1 ; y = -\frac{3z}{2}$
La solution est donc l'intersection des 2 plans d'équations $x-\frac{z}{2}-1=0$ et $y+\frac{3z}{2}=0$?
Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x,y,z)=Y$ avec $Y\in Imf$ est donc toujours l'intersection de 2 plans? Est-ce bien çà?
NB : pour un système de $n$ équations à $n$ inconnues (ici $n=3$), il y a deux cas :
J'ai bien avancé!!!!