Cadeau Algébrique

La quantification laisse à désirer. On pose, pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\R^n$, $A(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)\,f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$. On se demande si $A(x_1,\dots,x_n)=0$ lorsqu'il existe un couple $(i,j)$ d'indices distincts tels que $x_i=x_j$.

Pour $n=2$, $A(x_1,x_2)=f(x_1,x_2)-f(x_2,x_1)$, expression qui s'annule si $x_1=x_2$.

Pour $n=3$, on pose $\tau=(1,2)$ (transposition bien sûr), $\pi_1=\mathrm{id}$, $\pi_2=(1,3)$ et $\pi_3=(2,3)$. On a alors :
\[S_3=\{\mathrm{id},(1,2),(1,3),(1,3,2),(2,3),(1,2,3)\}=\{\mathrm{id},\tau,\pi_1,\tau\pi_1,\pi_2,\tau\pi_2,\pi_3,\tau\pi_3\}\quad\text{(dans l'ordre)}.\]Mais alors,
\[A(x_1,x_2,x_3)=\bigl(f(x_1,x_2,x_3)-f(x_2,x_1,x_3)\bigr)-\bigl(f(x_3,x_2,x_1)-f(x_3,x_1,x_2)\bigr)-\bigl(f(x_1,x_3,x_2)-f(x_2,x_3,x_1)\bigr)=0.\]
Dans le cas général, on va supposer que $i=1$ et $j=2$ et que $x_1=x_2$ pour fixer les idées. On note $H$ le sous-groupe engendré par la transposition $\tau=(1,2)$ et on écrit $S_n$ comme réunion de classes modulo $H$ : on choisit $n!/2$ permutations $\pi_k$ ($k=1,\dots,n!/2$) telles que $S_n$ est la réunion disjointe des $\{\pi_k,\tau\pi_k\}$. Alors
\[A(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^{n!/2}\varepsilon(\pi_k)\bigl(f(x_{\pi_k(1)},\dots,x_{\pi_k(n)})-f(x_{\tau\pi_k(1)},\dots,x_{\tau\pi_k(n)})\bigr).\]Pour $k$ fixé, on obtient la liste $(x_{\tau\pi_k(1)},\dots,x_{\tau\pi_k(n)})$ à partir de $(x_{\pi_k(1)},\dots,x_{\pi_k(n)})$ en permutant les deux variables correspondant aux indices $i$ et $j$ tels que $\pi_k(i)=1$ et $\pi_k(j)=2$. Si $x_1=x_2$, la fonction $f$ prend la même valeur en ces deux points donc le $k$-ième terme de la somme précédente est donc nul, et cela pour tout $k$. A fortiori, la somme est nulle.

Bonsoir,
La réponse est OUI.
Notons $\sigma$ la transposition $(i,j)$, $H$ le sous-groupe d'ordre $2$ de $\mathfrak S_n$ engendré par $\sigma\:$, et $\mathcal T:= \mathfrak S_n/H$ un ensemble de représentants des classes à droite de $\mathfrak S_n$ modulo $H$.
On remarque que ; $\forall \tau \in \mathcal T, \varepsilon (\sigma \tau) = - \epsilon(\tau) \:$, puis que : $\forall k \in \{1,2,..n\}, \:\: x_{\sigma\tau (k)} = x_{\tau(k)}$.
Ainsi $A = \displaystyle{ \sum_{t \in \mathcal T} \varepsilon (\tau)\left(f((x_{\tau(k)})_{1\leq k\leq n}) - f((x_{\sigma \tau(k)})_{ 1 \leq k \leq n})\right)} =0$ .
Amicalement,