Montrer que $x_1=\cdots=x_k=0$
dans Algèbre
Bonjour, si
x1*cos(x)+x2*cos^2(x)+.....+x(k-1)*cos^(k-1)(x)+xk*cos^k(x)=0 comment est ce que je peux prouver que x1=x2=x3=...=x(k-1)=xk=0 avec x1,x2,,,,,x(k-1),xk des scalaires svp ?
x1*cos(x)+x2*cos^2(x)+.....+x(k-1)*cos^(k-1)(x)+xk*cos^k(x)=0 comment est ce que je peux prouver que x1=x2=x3=...=x(k-1)=xk=0 avec x1,x2,,,,,x(k-1),xk des scalaires svp ?
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Réponses
$x_1\cos(x)+x_2\cos^2(x)+\cdots+x_{k-1}\cos^{k-1}(x)+x_k\cos^k(x)=0$
Une façon de voir : si c'est vrai pour n'importe quelle valeur de $x$, alors cela revient à résoudre un système linéaire à $k$ inconnues et une infinité d'équations (disons, autant que l'on souhaite...).
Le polynôme $x_1 X+x_2 X^2+ ... +x_n X^n$ est nul pour une infinité de valeurs $\cos(x)=X$, donc ses coefficients sont nuls.
Cordialement.
Donc soit tu disposes du théorème sur les coefficients d'un polynôme qui a plus de racines que son degré, et c'est une preuve. Soit tu ne l'as pas, et tu ne peux l'utiliser.
" cette méthode pourrait être utilisée pour le cas générale" ?? C'est l'utilisation d'un théorème général dans un cas particulier, comme toujours. Je ne sais pas ce que tu appelles "le cas général".
J'ai rédigé une preuve. Si elle ne te va pas, fais toi-même, mais inutile de parler : écris une preuve.
Cordialement.
I=intégrale entre 0 et 2pi
I cos(k.x).cos(l.x).dx = 0 et k,l des entiers naturels
je trouve (psin(2pip)cos(2piq)-qcos(2pip)sin(2piq))/p^2-q^2
est ce correct svp ?
il faut écrire entre dollars $\$<code>\$$
le code suivant :
L'intégrale ne vaut pas $0$ si $k=l$, car alors, on intègre un carré, qui est positif !
soit k,l des entiers naturels
j'ai cherché à calculer l'intégrale entre 0 et 2*pi de cos(kx)*cos(lx) et j'ai trouvé (k*sin(2pi*l)cos(2pi*l)-l*cos(2pi*k)sin(2pi*l))/k^2-l^2
Il y a un problème si $k=l $. Et sans doute une erreur de copie (deux fois l au début, k et l ensuite)
Sinon, pour $k\neq l$, combien valent sin(2pi*l) et sin(2pi*k) ?
Il faudrait voir comment tu as calculé, je suis très dubitatif !!
si je pose A l'intégrale étudier
en recalculant je trouve A(1-(k/l))=(cos(2*pi*k)*sin(2*pi*l)-sin(2*pi*k)*cos(2*pi*l))/l
d'ou A=(cos(2*pi*k)*sin(2*pi*l)-sin(2*pi*k)*cos(2*pi*l))/l-k
j'avoue que je ne sais pas ce qu'il se passe si k!=l
mais je dois trouver A=0
Quant à trouver A=0, c'est faux si k=l (tu intègres une fonction positive pas toujours nulle). Et sinon, c'est évident quand tu écris A=(cos(2*pi*k)*sin(2*pi*l)-sin(2*pi*k)*cos(2*pi*l))/(l-k) (que ce soit juste ou pas, tu ne donnes pas tes calculs, je te laisse décider).
Donc calcul à finir pour k différent de l, et à reprendre pour le cas où k=l.
Cordialement.
(*) c'est en début de collège qu'on voit que diviser par 0 est absurde.
merci
la primitive est x/2 + (sin2a)/4
donc l'intégrale est égale à pi + (sin(4*pi)/4) lorsque k=l
Pour k=l=0, ça ne donne pas ça (il n'y a d'ailleurs plus de cos). Tu aurais là encore pu t'en apercevoir en faisant sérieusement le calcul (tu as divisé par k !!)
tu peux taper \{ dans ton LaTeX. { s'obtient avec altgr+4 et } avec altgr+=.
Cordialement.
$\lbrace$
e.v.
dans les deux cas pour k=l et k!=l on trouve 0
Puis on t'a déjà dit que pour k=l il est impossible que ça fasse 0 puisque tu intègres une fonction positive non nulle.
Il est par contre inquiétant que tu n'aies (semble-t-il) toujours pas compris pourquoi ce cas doit se traiter à part.
Pour k!=l je trouve 1/2((1/(k-l)sin((k-l)2*pi)+1/(k+l)sin((k+l)2*pi)).
Pour k=l on a l'intégrale de cos^2(kx) ?
Tu as déjà dit comment linéariser cos²(kx) ici ! Tu oublies au fur et à mesure ce que tu fais ?
et pour le cas k=l j'utilise cos²(kx)=(1+cos(2kx))/2 et j'intègre en 0 et 2*pi
pour le cas k=l
j'obtiens pi+(1/4*pi)*sin(4*pi*k)
pour l'autre ta formule est fausse, tu devrais nous écrire le détail. Applique-toi et sois rigoureux !!
(troisième fois ! tu continues à diviser par 0, c'est grave !)
Si $x$ est un réel fixé, il est impossible de prouver que si $a_0 +a_1 \cos(x) + \dots + a_n \cos^n(x) =0$ alors $a_0=a_1=\dots=a_n=0$ car c'est faux.
Il manque un quantificateur sur $x$.
D'ailleurs, Dom l'a sous-entendu dans sa réponse.
Règle : Ne jamais écrire un quotient (fraction, division, ..) sans vérifier que c'est possible. (cours de quatrième de collège)
Cette manière d'écrire français ne te mènera à rien de bon en mathématiques. "Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement" comme on dit.