Petit exercice sur les matrices symétriques

P. · March 2018

Soit $P$ l'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre $n$ et définies positives. Soit $A,B\in P.$ Soit $E(A)$ l'ensemble des $x=(x_1,\ldots,x_n)$ tels que $A-(x_ix_j)_{1\leq i,j\leq n}$ soit dans $P$. Est-il vrai que $ E(A)=E(B)$ entraîne $A=B?$

Paul Broussous · March 2018

Ca a l'air d'être vrai. On le montre d'abord pour des matrices diagonales. On se ramène à ce cas par réduction simultanée de $A$ et $B$. Le coeur technique étant : pour tous nombres réels $a$, $b>0$, on a $a=b$ si, et seulement si, l'assertion $a>x^2$ est équivalente à $b>x^2$, pour tout réel $x$.

GaBuZoMeu · March 2018

Ça revient à dire qu'une forme quadratique définie positive $q$ est entièrement caractérisée par l'ensemble des formes linéaires $\ell$ telles que $q>\ell^2$. Et en dimension infinie ?

P. · March 2018

Pas beaucoup d'intuition sur un Hilbert. Dans le cas euclidien, l'astuce est $E(A)=\{x; x^TA^{-1}x<1\}.$

MrJ · March 2018

Par le théorème spectral, pour chaque $X\in\R^n$, il existe $P\in \textrm{GL}_n(\R)$ tel que $A=PP^T$ et $XX^T=P D P^T$ où
$$\lambda(X)\in\R_+\quad\text{et}\quad D=\textrm{diag}(\lambda(X),0,\ldots,0).$$
En particulier, on a que les matrices $A^{-1}X X^T$ et $D$ sont semblables, donc
\[\lambda(X)=\textrm{Tr}(A^{-1}XX^T)=\textrm{Tr}(X^T A^{-1} X)=X^T A^{-1} X.\]
On en déduit comme P. l'a indiqué que $E(A)$ est la boule unité ouverte associée au produit scalaire défini par la matrice $A^{-1}$. Finalement, c'est un exercice classique de montrer que la boule ouverte caractérise la norme (en dimension finie).

GaBuZoMeu · March 2018

Géométriquement : la forme quadratique $q-\ell^2$ (mes notations ci-dessus) est définie positive si et seulement si le plan $\ell=1$ ne touche pas l'ellipsoïde $q=1$. L'ensemble de ces plans détermine l'ellipsoïde, qui lui-même détermine $q$.

Petit exercice sur les matrices symétriques

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