p-groupe abélien d'exposant fini

Un espace vectoriel de dimension infinie sur $\Z/p\Z$ est d'exposant $p$, mais il n'est pas très fini.

Comment munis-tu $\mathbb R$ d'une structure de $\mathbb Z/p \mathbb Z$-espace vectoriel ? Tu ne peux pas le faire avec la loi $+$ usuelle, puisque justement, tout tel espace vectoriel est d'exposant $p$ (on a $px=0$ pour tout $x$ dans cet espace vectoriel).

Un $\Z/p\Z$-espace vectoriel n'est rien d'autre qu'un groupe abélien d'exposant $p$, autrement dit tel que tout élément différent de l'identité est d'ordre $p$. La multiplication par les scalaires de $\Z/p\Z$ est fournie gratis.

Soit $G$ un groupe non abélien d'ordre $p^3$. Un résultat classique donne qu'il n'en existe que deux à isomorphisme près. Aucun des deux n'est de la forme que tu cites (un produit de groupes cycliques est forcément abélien).

@ Yassine

Pour ta dernière question, le groupe $(\mathbf{F}_p(X),+)$ est abélien, infini d'exposant $p$ et non isomorphe à un produit de groupes cycliques : s'il existe un ensemble infini d'indices $I$ et une famille de groupes cycliques $(C_i)_{i\in I}$ tels que $\mathbf{F}_p(X)\simeq \prod_{i\in I}C_i$, les $C_i$ sont triviaux ou cycliques d'ordre $p$ (il faudrait détailler). Il y a alors une infinité de $C_i$ non triviaux indexés par un certain sous-ensemble $J$ de $I$ et l'ensemble $(\Z/p\Z)^J$ (ayant au moins la puissance du continu) est en bijection avec $\mathbf{F}_p(X)$ (dénombrable).

Tu confonds "direct sum" (somme direct) et produit direct.L'argument de b.b. ne marche plus pour la somme directe, car si $J$ est dénombrable, alors $\displaystyle\bigoplus_J \Z/p\Z$ l'est aussi, mais pour le produit direct, on a bien un problème de cardinalité

S'il s'agit d'un sous-groupe d'un groupe linéaire sur $\mathbb C$ par exemple.