Sous-espace vectoriel

Steph_ntic
Steph_ntic
dans Algèbre
Bonjour à tous, j'ai une préoccupation, je veux savoir si l'ensemble des polynômes de degré n est un sous-espace vectoriel et avoir une preuve à l’appui.

MERCI d'avance.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Il faut prendre tes polynômes sur un corps pour avoir un espace vectoriel. Mais qu'as-tu essayé ?
  • Chalk
    Chalk
    J'ai mal lu, l'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ ($\geq 0$) n'est pas un sous-espace vectoriel. Pas très compliqué à prouver tout de même ... Un sous-espace vectoriel contient par définition au moins un certain élément qui n'a pas trop l'air d'être de degré $n$ en général.
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    Si je me prends un polynôme P de degré n tel que:

    P(X)=a0+a1X+...+anXn je pense que les polynômes de degré n sont de cette forme.

    Pour la preuve je pense à une démonstration par récurrence.

    Pour n=0 on a le polynôme constant qui est un K-e.v donc un s.e.v donc la proposition est vraie pour n=0. on suppose donc vrai pour tout polynôme de degré n et on prouve que vrai pour les polynôme de degré n+1 et là je bloque.
  • Chalk
    Chalk
    Si tu relis mon message précédent je dis pourtant très clairement que ton résultat est faux.

    Si maintenant tu changes "exactement de degré $n$" par "au plus de degré $n$", alors ça devient vrai, et il n'y a absolument pas besoin de récurrence pour voir qu'on a un sous-espace vectoriel, il faut juste connaître la définition d'addition de polynômes et de multiplication par un scalaire.
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    ahh oui skyffer3 donc j'utilise la forme générale des polynôme de degré n et je montre la stabilité pour la loi interne en associant deux polynômes et aussi pour la loi externe en multipliant le polynôme par un scalaire.
  • Poirot
    Poirot
    Il faudrait peut-être parler du problème principal de la question posée : on veut savoir s'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de quoi ? On ne peut parler de sous-espace vectoriel sans référence à quoi que ce soit.
  • Poirot
    Poirot
    @Steph_ntic : skyffer3 s'évertue à te dire que tu ne prouveras pas ce que tu veux prouver, car il ne s'agit pas d'un espace vectoriel (en tout cas pour les lois $+$ et $.$ usuelles). Quel polynôme serait le zéro de ton espace vectoriel ?
  • Steph_ntic
    Steph_ntic
    aok je vois en fait l'e.v en question est C[X], si je comprends c'est à cause du zéro que ce n'est pas un sous-espace vectoriel de C[X].
  • brian
    brian
    Il y a aussi le fait que la somme de deux polynômes de degré $n$ n'est pas forcément de degré $n$ ($P + (-P)$ par exemple). Et puis $\lambda \mathop . P$ n'est pas forcément de degré $n$ pour tout scalaire $\lambda$ et tout $P$ de degré $n$...
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