suite exacte

aymen · March 2018

Bonjour
Soit $$0\to E\overset{f}{\to }M\to N\to 0$$ une suite courte exacte de modules
Je veux prouver que si $E$ est un module injective alors il existe un morphisme $g:M\to E$ tel que $g\circ f=id_E$
en utilisant la définition suivante
$A$ est un module injectif si pour tout $M$ un $R$-module et $N$ un sous-module de $M$ et $\phi:N\to A$ un morphisme, il existe un morphisme $\psi:M\to A$ tel que $\psi_{|N}=\phi$

Je sais que je dois utiliser la fonction identité de $E$ et le fait que $f:E\to M$ est injective mais je ne sais pas comment écrire la réponse en utilisant la définition.
Merci.

moduloP · March 2018

Salut,

Comme $f$ est injective, elle réalise une bijection $\overline{f} : E \to \text{Im}(f)$. Prenons $g : \text{Im}(f) \to E$ la bijection réciproque. D'après ta définition de module injectif et que $\text{Im}(f) \subset M$, tu peux prolonger $g$ en un morphisme $\overline{g} : M \to E$ tel que $\overline{g}_{\mid \text{Im}(f)} = g$.

aymen · March 2018

Soit $$0\to E\to M\overset{g}{\to} N\to 0$$ une suite exacte de modules.
Je veux prouver que si $N$ est un module projectif alors il existe un morphisme $h:N\to M$ tel que $g\circ h=id_N$, en utilisant la définition suivante:

$A$ est un module projectif si pour tout $M$ un $R$-module et $N$ un sous-module de $M$ et $\phi:A\to M/N$ un morphisme, il existe un morphisme $\psi:A\to M$ tel que $\phi(x)=\psi(x)+N$ pour tout $x\in A$.
Merci.