Matrice de rang 1

Bonsoir,

Si on prend $a=b=0$ et $c = 1$, cette matrice est :$
\smash{
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
}
$.

À vue de nez, son rang vaut-il 1 ?

Si on prenait $a=b=c=0$, le rang vaudrait-il encore 1 ?

(la question de savoir si la connaissance d'une des colonnes implique celle des autres est mal posée, et n'est pas clairement pertinente vis-à-vis du rang)

Tu as pourtant donné le bon argument, ta matrice est de rang $1$ quand ses colonnes sont (non nulles et) liées entre elles. En général ce n'est pas le cas comme l'a montré marsup.

S'obtenir par permutation des coordonnées n'est pas, en général, une manifestation du caractère lié de cette famille. Déjà en dimension $2$, les vecteurs $\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}b\\a \end{pmatrix}$ n'ont aucune raison d'être liés en général.