Convergence des puissances d'une matrice
Bonjour tout le monde, j'ai un petit problème concernant la dernière partie de la correction d'un exercice, le voici.
Soit la matrice à coefficients réels $$A=\begin{pmatrix}\\p&q&r\\q&r&p\\r&p&q\end{pmatrix}
$$ En cas de convergence, déterminer la limite de $A^n$.
$A$ est une matrice symétrique, et le vecteur $U=\begin{pmatrix}\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda=p+q+r$
notons $a$ et $b$ les deux autres valeurs propres
$tr(A)=p+q+r$ nous donne $a=-b$
donc $A^n$ converge ssi $|a|<1$ et $|p+q+r|\leqslant 1$
Si $|p+q+r|<1$ alors $A^n$ converge vers la matrice nulle.
Si $|p+q+r|=1$ alors $A^n$ converge vers la matrice $Q=P\begin{pmatrix}\\0&&\\&0&\\&&1\end{pmatrix} {^tP}$
avec $P$ la matrice de passage de la base canonique à la base fournie par les vecteurs propres (théorème spectral).
Jusque là j'ai bien compris.
En suite ils écrivent que :
$Q^2=Q$ donc $Q$ est la matrice de projection orthogonal sur $Vect(U)$ et donc $Q=\dfrac{U^tU}{^tUU}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}\\1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$
Pouvez-vous m'expliquer la dernière ligne s'il vous plaît ?
Merci de votre aide.
Soit la matrice à coefficients réels $$A=\begin{pmatrix}\\p&q&r\\q&r&p\\r&p&q\end{pmatrix}
$$ En cas de convergence, déterminer la limite de $A^n$.
$A$ est une matrice symétrique, et le vecteur $U=\begin{pmatrix}\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda=p+q+r$
notons $a$ et $b$ les deux autres valeurs propres
$tr(A)=p+q+r$ nous donne $a=-b$
donc $A^n$ converge ssi $|a|<1$ et $|p+q+r|\leqslant 1$
Si $|p+q+r|<1$ alors $A^n$ converge vers la matrice nulle.
Si $|p+q+r|=1$ alors $A^n$ converge vers la matrice $Q=P\begin{pmatrix}\\0&&\\&0&\\&&1\end{pmatrix} {^tP}$
avec $P$ la matrice de passage de la base canonique à la base fournie par les vecteurs propres (théorème spectral).
Jusque là j'ai bien compris.
En suite ils écrivent que :
$Q^2=Q$ donc $Q$ est la matrice de projection orthogonal sur $Vect(U)$ et donc $Q=\dfrac{U^tU}{^tUU}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}\\1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$
Pouvez-vous m'expliquer la dernière ligne s'il vous plaît ?
Merci de votre aide.
Réponses
-
$Q^{2}=Q$ est la définition d'un projecteur... Il est de plus orthogonal car $Q$ est symétrique.
Quelle est l'expression d'une projection orthogonale sur une droite (dont on connait un vecteur directeur de norme $1$?) -
C'est vrai que c'est une projection orthogonale mais pourquoi c'est la projection sur $Vect(U)$ ?
L'expression d'une projection orthogonal $p$ sur une droite de vecteur directeur unitaire $e_1$ est $p(x)=<x,e_1>e_1$ -
Un projecteur projette sur son image, qui est aussi l'espace des invariants, ou encore l'espace propre pour la valeur propre 1.
-
Un projecteur projette toujours sur son image.
-- edit (oups désolé gb, j'ai trouvé le même slogan indépendamment, mais deux minutes plus tard :-D !) -
Et pourquoi cette image est exactement Vect(U), en effet Vect(U) est inclus dans l'image du projecteur, mais l'inclusion réciproque ?
-
Cette image contient $vect(u)$, et on conclut à l'égalité par le rang de $Q$.
-
Ah d'accord ! Et comment a-t-on trouver l'expression rationnelle de cette matrice Q ?
-
Pour $X=
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\
\end{pmatrix} \in \R^3
$,
la décomposition de $X$ associée à la projection orthogonale sur $vect
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\
\end{pmatrix}
$
s'écrit :
$
X=
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{3} \cdot
\begin{pmatrix}
2x-y-z \\ -x+2y-z \\ -x-y+2z \\
\end{pmatrix}
+
\underbrace{
\frac{x+y+z}{3} \cdot
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\
\end{pmatrix}
}_{Q \cdot X}
$
La matrice $Q$ vérifie donc :
$Q \cdot
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{3} \cdot
\begin{pmatrix}
x + y + z \\
x + y + z \\
x + y + z \\
\end{pmatrix}
$
Il vient bien :
$Q=
\frac{1}{3} \cdot
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1\\
\end{pmatrix}
$.
On vérifie que cette matrice $Q$ est une matrice de projection orthogonale : $Q^2 = Q$ et $Q$ symétrique. -
Oui, mais pourquoi la matrice de projection orthogonale sur $vect(U)$ est $Q=\frac{U^tU}{^tUU}$
-
Cette formule donne bien la même matrice, ici.
Elle marche toujours pour la matrice de la projection orthogonale sur une droite dans $\R^n$.
(chouette formule, d'ailleurs !) -
On a bien :
$X =
\underbrace{
X - \frac{1}{\|U\|^2} \langle U , X \rangle \cdot U
}_{\perp U}
+
\underbrace{
\frac{1}{\|U\|^2} \langle U , X \rangle \cdot U
}_{\in vect(U)}
$.
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