Compréhension de $\ker(f)$
dans Algèbre
Bonjour
Soit $f$ un morphisme de groupes de $G$ dans $H$. Dans le cours, à un moment on a marqué que $\ker(f)$ regroupe tout le défaut d'injectivité. Pourquoi ?
Ce que je connais : la définition de $\ker(f)$, la propriété $f$ injective $\iff\ker(f)=\{e\}$, $\ker(f)$ est un sous-groupe distingué de $G$ et le premier théorème d'isomorphisme qui dit que $G/\ker(f)$ est isomorphe à $Im(f)$.
Soit $f$ un morphisme de groupes de $G$ dans $H$. Dans le cours, à un moment on a marqué que $\ker(f)$ regroupe tout le défaut d'injectivité. Pourquoi ?
Ce que je connais : la définition de $\ker(f)$, la propriété $f$ injective $\iff\ker(f)=\{e\}$, $\ker(f)$ est un sous-groupe distingué de $G$ et le premier théorème d'isomorphisme qui dit que $G/\ker(f)$ est isomorphe à $Im(f)$.
Réponses
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Je pense que tu sais tout :
- l'injectivité est caractérisée par le fait que le noyau soit trivial ou pas ;
- étant donnés deux points $x$ et $x'$ de $G$, il est équivalent de dire que $f(x)=f(x')$, que $x^{-1}x'\in\ker f$ ou encore qu'il existe $k\in\ker f$ tel que $x'=xk$ ; autrement dit, on sait dire quels sont les éléments qui ont la même image en termes du noyau de $f$.
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Par exemple, pour $G = \Z$, et $H = \Z/10\Z$, on prend $f : x \mapsto x \mod 10$.
Le noyau est $10\Z$, l'ensemble des multiples de 10.
Eh bien deux entiers $m,n$ ont la même image par $f$, ss'ils sont égaux modulo $10$,
ssi leur différence $m-n \in \ker(f) = 10 \Z$.
Et c'est toujours comme ça, même dans les groupes pas commutatifs, mais la différence $m-n$ correspond au quotient $x \cdot y^{-1}$.
En général, le défaut d'injectivité d'une application $g : X \to Y$ est la relation d'équivalence $\sim_g$ sur $X$ définie par $x \sim_g y \Longleftrightarrow g(x) = g(y)$.
L'application $g$ est injective ssi $x \sim_g y \Longleftrightarrow x=y$.
Elle est constante ssi $x \sim_g y$ pour tous $x,y$.
(et cette relation d'équivalence s'appelle, par analogie, le noyau de $g$) -
Il regroupe le défaut d'injectivité parce que quand tu le "tues" (quotiente par lui) tu obtiens quelque chose d'injectif, et si tu quotientes par quelque chose de plus petit, ça ne suffit pas, tu restes non injectif. Ainsi, toute la non injectivité est contenue dedans.
Ceci vient précisément de ce que MathCoss a rappelé, à savoir $f(x)= f(y) \iff xy^{-1}\in \ker(f) \iff x \in y\ker(f)$.
Peut-être que la même chose avec d'autres mots aidera : cette dernière équation ($f(x)=f(y) \iff x\in y\ker(f)$) signifie que, fixant $y$, pour trouver tous les $x$ tels que $f(x)=f(y)$ (les "défauts d'injectivité"), il te suffit de regarder tous les $yh, h\in \ker(f)$.
(Je n'ai pas ajouté grand chose, mais j'ai un peu reformulé, ça aidera peut-être ?) -
Comme aucun des trois intervenants n'a écrit le calcul (mea culpa pour commencer), je m'y colle :
\[f(x)=f(x')\iff f(x^{-1})f(x')=e_H\iff x^{-1}x'\in\ker f.\]
Bien sûr, on peut aussi écrire $x'x^{-1}=e_H$ et $x'x^{-1}\in\ker f$ à la place, ça ne change rien (c'est une manifestation du fait que le noyau est distingué).
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