Compréhension de $\ker(f)$

Par exemple, pour $G = \Z$, et $H = \Z/10\Z$, on prend $f : x \mapsto x \mod 10$.

Le noyau est $10\Z$, l'ensemble des multiples de 10.

Eh bien deux entiers $m,n$ ont la même image par $f$, ss'ils sont égaux modulo $10$,
ssi leur différence $m-n \in \ker(f) = 10 \Z$.

Et c'est toujours comme ça, même dans les groupes pas commutatifs, mais la différence $m-n$ correspond au quotient $x \cdot y^{-1}$.

En général, le défaut d'injectivité d'une application $g : X \to Y$ est la relation d'équivalence $\sim_g$ sur $X$ définie par $x \sim_g y \Longleftrightarrow g(x) = g(y)$.

L'application $g$ est injective ssi $x \sim_g y \Longleftrightarrow x=y$.

Elle est constante ssi $x \sim_g y$ pour tous $x,y$.

(et cette relation d'équivalence s'appelle, par analogie, le noyau de $g$)

Comme aucun des trois intervenants n'a écrit le calcul (mea culpa pour commencer), je m'y colle :
\[f(x)=f(x')\iff f(x^{-1})f(x')=e_H\iff x^{-1}x'\in\ker f.\]
Bien sûr, on peut aussi écrire $x'x^{-1}=e_H$ et $x'x^{-1}\in\ker f$ à la place, ça ne change rien (c'est une manifestation du fait que le noyau est distingué).