salut ! j'ai deux préoccupations à vous soumettre
1- Un élément initial(resp. final) d'une catégorie est-il unique ?
2- La catégorie des applications ordonnées, comment montrer l'associativité de la loi ?
Merci d'avance à celui qui me viendra en aide.
Réponses
2) Celle-ci ? Si oui, c'est évident parce que les foncteurs sont en particuliers des applications. Sinon, je ne sais pas.
Edit : en gras.
ça explique que dans la catégorie des ensembles, tout objet final est un singleton, et respectivement, tout singleton est un objet final.
EDIT : j'ai lu trop vite, je pensais qu'on parlais de la catégorie donnée par un ensemble ordonné particulier. Du coup l'associativité vient juste de l'associativité de la composition des fonctions.
Peut être que l'on va dire que les objets de la catégorie sont les éléments de $E$ et que pour deux éléments $a$ et $b$, l'ensemble des flèches de $a$ vers $b$ est réduit à $\emptyset$ si $a \not \leq b$ et a une seul flèche si $a \leq b$. Du coup, la transitivité doit jouer un peu dans cette histoire.
Enfin, j'ai pas trop lu la définition non plus :-D
Edit : pareil que Poirot :-D
(je crois qu'il faut parler de foncteur d'oubli)
Il suffit de montrer la stabilité pour la composition des flèches :
Si $f$,$g$ sont croissantes et composables, alors $f\circ g$ est encore croissante.
Sinon, reprends les démonstrations pour la catégorie des ensembles, et adapte en ajoutant à chaque fois
"ordonné" après "ensemble"
"croissante" après "application"
L'associativité est la même évidence que pour la catégorie des ensembles (c'est un cas particulier) : si $h:G\to H$ est une nouvelle application croissante, on a pour tout $x$ de $E$ l'égalité $\bigl((h\circ g)\circ f\bigr)(x)=h\Bigl(g\bigl(f(x)\bigr)\Bigr)=\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(x)$.
Soit $f\in\hom_\C(A,B)$ un morphisme et soit $\bar{f}=F(f)$ l'application « concrète » associée. Point clé : par fonctorialité, si $h\in\hom_\C(X,A)$ correspond au morphisme $x\in FA$, alors au morphisme $f\circ h\in\hom_\C(X,B)$ correspond à $\bar f(x)$ (quoi d'autre ?).
Supposons que $f$ soit un monomorphisme. Soient alors $x_1$ et $x_2$ deux éléments de $FA$ qui ont la même image par $F(f)$. Notons $h_1,h_2\in\hom_\C(X,A)$ les morphismes qui correspondent à $x_1$ et $x_2$. Dire que $\bar{f}(x_1)=\bar{f}(x_2)$, c'est dire que $f\circ h_1=f\circ h_2$. Comme $f$ est un monomorphisme, on en déduit que $h_1=h_2$, c'est-à-dire que $x_1=x_2$. Ainsi, $\bar f$ est injective.
Par exemple, si une catégorie a un objet initial, est-il bien raisonnable d'espérer que le foncteur représenté par cet objet soit fidèle?
> soit elle ne sert pas
Elle ne sert pas en effet, sauf éventuellement à donner un sens à "morphisme injectif" ou encore à "foncteur oubli" - il faut pouvoir considérer un morphisme comme une fonction. Plus exactement, tu as montré que si on a un foncteur représentable $F$ et si f est un monomorphisme, alors $F(f)$ est injectif, et ça n'a rien à voir avec les catégories concrètes. Un exercice sur les catégories concrètes aurait été plutôt : montrer que si le foncteur oubli est représentable alors les monomorphismes sont les morphismes injectifs.
Représentabilité. Non, en effet, ce serait une catégorie bien pauvre. (J'avais un vague truc en tête, je vois que c'était voué à rester vague – pour ne pas dire « débile ».)
Exploitation de la fidélité. Il me semble qu'il n'y a pas grand-chose à faire pour montrer « la réciproque » : si $f$ est un morphisme tel que $\bar f=F(f)$ est injectif, alors $f$ est un monomorphisme. Soient en effet $g_1,g_2\in\hom_\C(Z,A)$ deux morphismes tels que $f\circ g_1=f\circ g_2$. Alors $\bar f\circ F(g_1)=\bar f\circ F(g_2)$ (deux fonctions de $F(Z)$ dans $F(B)$). Comme $\bar f$ est injective, on en déduit que $F(g_1)=F(g_2)$. La fidélité de $F$ donne alors $g_1=g_2$.