nilpotent et ordre.

Attention à ne pas confondre les deux lois qui vivent en harmonie dans l'anneau $\mathbb Z/n \mathbb Z$. Si tu prends un élément nilpotent de cet anneau, il s'agit d'un élément $x$ tel que $x^k=0$ pour un certain $k$, tandis qu'un élément d'ordre $k$ du groupe multiplicatif $\mathbb Z/n \mathbb Z^{\times}$ vérifie $x^k=1$ !

Il y a une caractérisation facile des nilpotents de $\mathbb Z/n \mathbb Z$ en terme des facteurs premiers de $n$.

Au passage, dans un anneau un élément inversible (pour la loi multiplicative) ne peut pas être nilpotent (pour la loi multiplicative) :

Si $a^n = 0$, et $a$ inversible, alors on a :

$1 = a^n (a^{-1})^n = 0 (a^{-1})^n = 0$

@Tryss:

Il faut préciser « anneau non nul », car dans l'anneau nul ($\{0\}$), le 0 et le 1 (neutre pour la multiplication) sont égaux. Cette propriété est d'ailleurs caractéristique de l'anneau nul.